Frações contínuas são uma forma importante de representar números reais. Essa representação realmente fornece todas as aproximações de maneira natural e conceitualmente simples. Já modelagem matemática ajuda a interpretar e resolver situações-problema de natureza científica e socioeconômica, usando como ferramentas a geometria, a álgebra e a lógica. Desse modo, observe a igualdade abaixo:
x=1+\frac{1}{2+\frac{1}{3+\frac{1}{2+\frac{1}{3+\frac{1}{\vdots}}}}}
Usando como ferramenta a modelagem matemática, qual é a equação quadrática cuja raiz está representada pela fração contínua indicada na igualdade acima?
a) 2 x^{2}+2 x-7=0.
b) 7 x^{2}+2 x-2=0.
c) 3 x^{2}-x-5=0.
d) 2 x^{2}-7=0.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado dá a fração contínua infinita
x = 1+\frac{1}{2+\frac{1}{3+\frac{1}{2+\frac{1}{3+\frac{1}{\vdots}}}}}
  • O enunciado pede: qual é a equação quadrática cuja raiz é o número representado por essa fração contínua? São fornecidas quatro alternativas (a), (b), (c) e (d).
Observações úteis extraídas do enunciado:
  • A continuação da fração é periódica: depois do primeiro 1 vem a sequência 2,3,2,3,\dots que se repete indefinidamente.

Passo 2

Ideia de modelagem (por que podemos transformar a fração em uma equação algébrica).
  • Em frações contínuas periódicas é comum introduzir uma variável para representar a “parte infinita” que se repete. Isso funciona porque a repetição implica que a parte que vem depois de um certo ponto é igual à parte inicial.
  • Exemplo simples de reforço: a fração infinita
y = 1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{\vdots}}}
satisfez a identidade y = 1 + \dfrac{1}{y}, que leva à equação quadrática y^2 - y - 1 = 0 (a famosa equação do número áureo). O mesmo raciocínio será aplicado aqui, adaptado à repetição 2,3,2,3,\dots.

Passo 3

Definir a variável que modela a parte repetitiva da fração.
  • Depois do primeiro 1 a sequência é 2,3,2,3,\dots. Então defino
y = 2+\frac{1}{3+\frac{1}{2+\frac{1}{3+\frac{1}{\vdots}}}}.
  • Pela periodicidade, a parte que começa com 2 (ou começando depois do 3) é novamente y. Assim posso escrever uma equação que relaciona y consigo mesmo:
y = 2+\frac{1}{3+\frac{1}{y}}.

Passo 4

Transformar a relação de y em uma equação polinomial (passo-a-passo das manipulações).
Começo com
y = 2+\frac{1}{3+\frac{1}{y}}.
Calculo o denominador da fração:
3+\frac{1}{y}=\frac{3y+1}{y}.
Portanto
\frac{1}{3+\frac{1}{y}}=\frac{y}{3y+1}.
Substituindo de volta em y:
y = 2 + \frac{y}{3y+1}.
Multiplico ambos os lados por 3y+1 para eliminar denominadores:
y(3y+1) = 2(3y+1) + y.
Expando os termos:
3y^2 + y = 6y + 2 + y.
Agrupando termos semelhantes:
3y^2 + y = 7y + 2.
Passando tudo para o lado esquerdo:
3y^2 -6y -2 = 0.
Portanto y satisfaz a equação quadrática
3y^2 -6y -2 = 0.

Passo 5

Relacionar x com y e substituir para obter a equação em x.
Pela definição inicial temos
x = 1 + \frac{1}{y}.
Isolando y em função de x:
x-1 = \frac{1}{y}\quad\Rightarrow\quad y=\frac{1}{x-1}.
Agora substituo y=\dfrac{1}{x-1} na equação de y encontrada em \# Passo 4:
3\left(\frac{1}{x-1}\right)^{2} -6\left(\frac{1}{x-1}\right) -2 = 0.

Passo 6

Eliminar denominadores e simplificar para chegar à equação quadrática em x.
Multiplico ambos os lados por (x-1)^2:
3 -6(x-1) -2(x-1)^2 = 0.
Agora expando termo a termo:
3 -6x +6 -2\bigl(x^2 -2x +1\bigr) = 0.
Junto os termos constantes e os de x:
9 -6x -2x^2 +4x -2 = 0.
Simplifico combinando termos:
7 -2x -2x^2 = 0.
Multiplico por -1 para ficar com coeficiente positivo de x^2:
2x^2 +2x -7 = 0.

Passo 7

Interpretação final: entre as alternativas dadas, a equação encontrada corresponde à alternativa (a).

Resposta

a) 2 x^{2}+2 x-7=0

Exercícios relacionados