Frações contínuas são uma forma importante de representar números reais. Essa representação realmente fornece todas as aproximações de maneira natural e conceitualmente simples. Já modelagem matemática ajuda a interpretar e resolver situações-problema de natureza científica e socioeconômica, usando como ferramentas a geometria, a álgebra e a lógica. Desse modo, observe a igualdade abaixo:
Usando como ferramenta a modelagem matemática, qual é a equação quadrática cuja raiz está representada pela fração contínua indicada na igualdade acima?
a)
.
b)
.
c)
.
d)
.
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- O enunciado dá a fração contínua infinita
- O enunciado pede: qual é a equação quadrática cuja raiz é o número representado por essa fração contínua? São fornecidas quatro alternativas (a), (b), (c) e (d).
Observações úteis extraídas do enunciado:
- A continuação da fração é periódica: depois do primeiro
vem a sequência que se repete indefinidamente.
Passo 2
Ideia de modelagem (por que podemos transformar a fração em uma equação algébrica).
- Em frações contínuas periódicas é comum introduzir uma variável para representar a “parte infinita” que se repete. Isso funciona porque a repetição implica que a parte que vem depois de um certo ponto é igual à parte inicial.
- Exemplo simples de reforço: a fração infinita
satisfez a identidade
, que leva à equação quadrática
(a famosa equação do número áureo). O mesmo raciocínio será aplicado aqui, adaptado à repetição
.
Passo 3
Definir a variável que modela a parte repetitiva da fração.
- Depois do primeiro
a sequência é . Então defino
- Pela periodicidade, a parte que começa com
(ou começando depois do ) é novamente . Assim posso escrever uma equação que relaciona consigo mesmo:
Passo 4
Transformar a relação de
em uma equação polinomial (passo-a-passo das manipulações).
Começo com
Calculo o denominador da fração:
Portanto
Substituindo de volta em
:
Multiplico ambos os lados por
para eliminar denominadores:
Expando os termos:
Agrupando termos semelhantes:
Passando tudo para o lado esquerdo:
Portanto
satisfaz a equação quadrática
Passo 5
Relacionar
com
e substituir para obter a equação em
.
Pela definição inicial temos
Isolando
em função de
:
Agora substituo
na equação de
encontrada em
Passo 4:
Passo 6
Eliminar denominadores e simplificar para chegar à equação quadrática em
.
Multiplico ambos os lados por
:
Agora expando termo a termo:
Junto os termos constantes e os de
:
Simplifico combinando termos:
Multiplico por
para ficar com coeficiente positivo de
:
Passo 7
Interpretação final: entre as alternativas dadas, a equação encontrada corresponde à alternativa (a).
Resposta
a)