Vicente gosta muito de futebol. Indo a um evento esportivo com os filhos, levou 320 reais. Ao chegarem ao evento, percebem que, se pagarem os ingressos a 50 reais, Vicente não terá dinheiro suficiente. Mas, se entrarem pagando 40 reais por ingresso, ele ficará com dinheiro sobrando. Quantos filhos tem Vicente?
a) 3 .
b) 4 .
c) 5 .
d) 6 .
a) 3 .
b) 4 .
c) 5 .
d) 6 .
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- Informação 1: Vicente levou
reais para o evento. - Informação 2: Se pagarem ingressos a
reais por pessoa, Vicente não terá dinheiro suficiente. - Informação 3: Se pagarem ingressos a
reais por pessoa, Vicente ficará com dinheiro sobrando. - O que o enunciado pergunta: quantos filhos Vicente tem? (ou seja, pedir um número inteiro não negativo).
Passo 2
Definir variável e traduzir as informações em desigualdades matemáticas (sem resolver ainda).
- Seja
o número de filhos de Vicente. Então o número total de pessoas que vão ao evento é (Vicente mais os filhos). - Custo total se cada ingresso custa
reais: . - Custo total se cada ingresso custa
reais: .
As condições do enunciado viram:
- Com ingresso a
reais falta dinheiro, logo o custo é maior que o que ele tem:
- Com ingresso a
reais sobra dinheiro, logo o custo é menor que o que ele tem:
Observação:
deve ser um número inteiro (não faz sentido ter fração de filho).
Passo 3
Resolver a primeira desigualdade para obter uma restrição em
.
Partindo de
dividimos ambos os lados por
(positivo, então o sentido da desigualdade não muda):
Calcular a divisão:
Portanto
Como
é inteiro, a menor posição inteira estritamente maior que
é
. Logo
Passo 4
Resolver a segunda desigualdade para obter outra restrição em
.
Partindo de
dividimos ambos os lados por
:
Calcular a divisão:
Portanto
Como
é inteiro, a maior posição inteira estritamente menor que
é
. Logo
Passo 5
Combinar as duas restrições obtidas.
- Da primeira desigualdade:
. - Da segunda desigualdade:
.
Logo a única possibilidade é
Passo 6
Verificação numérica rápida (sempre bom checar para não ter erro de interpretação):
- Número de pessoas:
. - Custo a
reais: reais, que é maior que (logo falta dinheiro) — condiz com o enunciado. - Custo a
reais: reais, que é menor que (logo sobra dinheiro); sobra reais — também condiz com o enunciado.
Tudo consistente, então
está correto.
Resposta
d)