Vicente gosta muito de futebol. Indo a um evento esportivo com os filhos, levou 320 reais. Ao chegarem ao evento, percebem que, se pagarem os ingressos a 50 reais, Vicente não terá dinheiro suficiente. Mas, se entrarem pagando 40 reais por ingresso, ele ficará com dinheiro sobrando. Quantos filhos tem Vicente?
a) 3 .
b) 4 .
c) 5 .
d) 6 .

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Informação 1: Vicente levou 320 reais para o evento.
  • Informação 2: Se pagarem ingressos a 50 reais por pessoa, Vicente não terá dinheiro suficiente.
  • Informação 3: Se pagarem ingressos a 40 reais por pessoa, Vicente ficará com dinheiro sobrando.
  • O que o enunciado pergunta: quantos filhos Vicente tem? (ou seja, pedir um número inteiro não negativo).

Passo 2

Definir variável e traduzir as informações em desigualdades matemáticas (sem resolver ainda).
  • Seja n o número de filhos de Vicente. Então o número total de pessoas que vão ao evento é n+1 (Vicente mais os n filhos).
  • Custo total se cada ingresso custa 50 reais: 50(n+1).
  • Custo total se cada ingresso custa 40 reais: 40(n+1).
As condições do enunciado viram:
  • Com ingresso a 50 reais falta dinheiro, logo o custo é maior que o que ele tem:
50(n+1)>320.
  • Com ingresso a 40 reais sobra dinheiro, logo o custo é menor que o que ele tem:
40(n+1)<320.
Observação: n deve ser um número inteiro (não faz sentido ter fração de filho).

Passo 3

Resolver a primeira desigualdade para obter uma restrição em n.
Partindo de
50(n+1)>320,
dividimos ambos os lados por 50 (positivo, então o sentido da desigualdade não muda):
n+1>\frac{320}{50}.
Calcular a divisão:
\frac{320}{50}=6{,}4.
Portanto
n+1>6{,}4.
Como n+1 é inteiro, a menor posição inteira estritamente maior que 6{,}4 é 7. Logo
n+1\ge7\quad\Rightarrow\quad n\ge6.

Passo 4

Resolver a segunda desigualdade para obter outra restrição em n.
Partindo de
40(n+1)<320,
dividimos ambos os lados por 40:
n+1<\frac{320}{40}.
Calcular a divisão:
\frac{320}{40}=8.
Portanto
n+1<8.
Como n+1 é inteiro, a maior posição inteira estritamente menor que 8 é 7. Logo
n+1\le7\quad\Rightarrow\quad n\le6.

Passo 5

Combinar as duas restrições obtidas.
  • Da primeira desigualdade: n\ge6.
  • Da segunda desigualdade: n\le6.
Logo a única possibilidade é
n=6.

Passo 6

Verificação numérica rápida (sempre bom checar para não ter erro de interpretação):
  • Número de pessoas: n+1=6+1=7.
  • Custo a 50 reais: 50\cdot7=350 reais, que é maior que 320 (logo falta dinheiro) — condiz com o enunciado.
  • Custo a 40 reais: 40\cdot7=280 reais, que é menor que 320 (logo sobra dinheiro); sobra 320-280=40 reais — também condiz com o enunciado.
Tudo consistente, então n=6 está correto.

Resposta

d) 6

Exercícios relacionados