A Matemática se divide em várias áreas de conhecimento, a saber, Geometria, Análise, Álgebra, Finanças, Otimização etc. No ensino fundamental, inicia-se o estudo com álgebra básica, que estuda resoluções de equações lineares da forma
e equações quadráticas da forma
, na intenção de interpretar situações-problema técnico-científicas e socioeconômicas de nosso cotidiano. Ainda, em algumas situações, se apresentam parâmetros que representam informações auxiliares na situação estudada, e a variável desejada fica dependendo desses parâmetros. Essas situações geram as equações paramétricas. Assim, resolvendo a equação linear paramétrica na variável "
"
Obtém-se como solução
a)
.
b)
.
c) -2 .
d) -1 .
a)
b)
c) -2 .
d) -1 .
Passo 1
Vou escrever claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Enunciado: resolver, em
, a equação
- O parâmetro
está presente; não são dadas restrições explícitas sobre no enunciado, mas a expressão usa raízes de índices e , portanto: não se pode ter (raízes de ordem zero não fazem sentido) nem (então tampouco faz sentido). - Pergunta: determinar a(s) solução(ões) em
da equação (e, dado o formato, comparar com as alternativas fornecidas: ).
Observações que já extraio do enunciado:
- Temos duas raízes aninhadas: a raiz enésima
e, sobre ela, a raiz de ordem . - Dependendo da paridade (par/ímpar) dos índices das raízes, há restrições de domínio (por exemplo, raiz de índice par exige argumento não negativo).
- A resolução começa por isolar a raiz e usar propriedades de potências, tendo cuidado com as restrições de validade quando “tiramos potências” (pois a igualdade só vale se respeitarmos o ramo real das raízes).
Passo 2
Fazer uma substituição simples para simplificar a expressão e aplicar as propriedades de potência de forma organizada.
Defina
. Isso significa, por definição de raiz enésima (ramo real quando existir), que
Reescrevendo a expressão dentro da raiz maior:
Assim a equação fica
Agora isolo a raiz:
Passo 3
Converter a raiz em potência e resolver para
. Lembre-se que
(quando a expressão for definida no ramo real).
Transformando a raiz em potência:
Note que
. Então o expoente do lado esquerdo simplifica:
Portanto a equação é
Agora elevamos ambos os lados à potência
(novamente observando que isso só é válido se respeitarmos a natureza real das raízes e sinais):
Lembrando que
, obtemos:
Mas podemos simplificar a potência composta (ou reescrever de modo mais direto): como anteriormente tínhamos
, uma simplificação direta leva a
(esta forma é equivalente à expressão anterior, lembrando que
.)
Vou manter a forma
Isso é a solução formal obtida por manipulação algébrica.
Passo 4
Agora é crucial analisar a validade real dessa solução, ou seja, se a expressão realmente satisfaz a equação original no ramo real — aqui entram as regras sobre índices pares/ímpares e sinais.
Relembrando os pontos de domínio:
- A raiz interna
é uma função real bem definida para todo quando é ímpar; quando é par, exige e então . - A raiz externa tem índice
. Se é par, então é par e é ímpar; se é ímpar, então é ímpar e é par. Assim: - Para
par: índice externo é ímpar → pode extrair raiz real de número negativo ou positivo. - Para
ímpar: índice externo é par → o argumento da raiz externa deve ser .
- Para
Examine o lado direito que igualamos à raiz:
Note que
. Para valores inteiros
isso é negativo (pois
e estritamente negativo para
). Para
seria positivo; porém
no contexto usual de índice de raiz costuma ser inteiro natural. Vamos focar no caso natural
, que é o mais provável no enunciado escolar.
- Se
é par (ex.: ): índice externo é ímpar, portanto o valor da raiz externa pode ser negativo. Contudo, quando é par, a raiz interna exige , logo . Então . A raiz ímpar de um número não negativo é não negativa. Portanto o lado esquerdo é , mas o lado direito é e, para , estritamente negativo. Conclusão: impossibilidade — não há real que torne a igualdade verdadeira. - Se
é ímpar (ex.: ): índice externo é par, portanto o argumento da raiz externa deve ser . Assim (já que é o argumento). Então a raiz externa é . De novo o lado esquerdo é enquanto o lado direito é negativo para . Novamente impossibilidade.
Portanto, para todo inteiro natural
(caso natural do enunciado), não existe
real que satisfaça a equação. A “solução formal” algébrica
surge da manipulação das potências, mas falha em respeitar as restrições de sinal/índice das raízes reais — logo não produz uma solução real válida no contexto natural de índices.
Passo 5
Concluir e relacionar com as alternativas.
- Concluímos que, para os valores usuais de
como inteiro natural (e em particular para ), não existe solução real da equação original. - Portanto nenhuma das alternativas fornecidas —
— é uma solução real válida da equação para os naturais considerados.
Se alguém quisesse considerar
não inteiro e em especial
, a análise muda (pois então
e formalmente pode haver valores reais de
dados por a expressão encontrada), mas esse caso foge ao contexto padrão de índices de raiz (índices normalmente inteiros positivos) e as alternativas oferecidas não batem com a expressão geral.
Resposta
Nenhuma das alternativas.