A Matemática se divide em várias áreas de conhecimento, a saber, Geometria, Análise, Álgebra, Finanças, Otimização etc. No ensino fundamental, inicia-se o estudo com álgebra básica, que estuda resoluções de equações lineares da forma a x=b e equações quadráticas da forma a x^{2}+b x+c=0, na intenção de interpretar situações-problema técnico-científicas e socioeconômicas de nosso cotidiano. Ainda, em algumas situações, se apresentam parâmetros que representam informações auxiliares na situação estudada, e a variável desejada fica dependendo desses parâmetros. Essas situações geram as equações paramétricas. Assim, resolvendo a equação linear paramétrica na variável " x "
\sqrt[n^{2}-1]{x \sqrt[n]{x}}+n^{2}=n
Obtém-se como solução
a) n.
b) n^{2}.
c) -2 .
d) -1 .

Passo 1

Vou escrever claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Enunciado: resolver, em x, a equação
\sqrt[n^{2}-1]{x \sqrt[n]{x}}+n^{2}=n.
  • O parâmetro n está presente; não são dadas restrições explícitas sobre n no enunciado, mas a expressão usa raízes de índices n e n^{2}-1, portanto: não se pode ter n=0 (raízes de ordem zero não fazem sentido) nem n=\pm1 (então n^{2}-1=0 tampouco faz sentido).
  • Pergunta: determinar a(s) solução(ões) em x da equação (e, dado o formato, comparar com as alternativas fornecidas: n,\;n^{2},\;-2,\;-1).
Observações que já extraio do enunciado:
  • Temos duas raízes aninhadas: a raiz enésima \sqrt[n]{x} e, sobre ela, a raiz de ordem n^{2}-1.
  • Dependendo da paridade (par/ímpar) dos índices das raízes, há restrições de domínio (por exemplo, raiz de índice par exige argumento não negativo).
  • A resolução começa por isolar a raiz e usar propriedades de potências, tendo cuidado com as restrições de validade quando “tiramos potências” (pois a igualdade só vale se respeitarmos o ramo real das raízes).

Passo 2

Fazer uma substituição simples para simplificar a expressão e aplicar as propriedades de potência de forma organizada.
Defina y=\sqrt[n]{x}. Isso significa, por definição de raiz enésima (ramo real quando existir), que
y^{n}=x.
Reescrevendo a expressão dentro da raiz maior:
x\sqrt[n]{x}=y^{n}\cdot y = y^{n+1}.
Assim a equação fica
\sqrt[n^{2}-1]{\,y^{\,n+1}\,}+n^{2}=n.
Agora isolo a raiz:
\sqrt[n^{2}-1]{\,y^{\,n+1}\,}=n-n^{2}=n(1-n).

Passo 3

Converter a raiz em potência e resolver para y. Lembre-se que \sqrt[m]{a}=a^{1/m} (quando a expressão for definida no ramo real).
Transformando a raiz em potência:
y^{\,\frac{n+1}{\,n^{2}-1\,}}=n(1-n).
Note que n^{2}-1=(n-1)(n+1). Então o expoente do lado esquerdo simplifica:
\frac{n+1}{n^{2}-1}=\frac{n+1}{(n-1)(n+1)}=\frac{1}{n(n-1)}.
Portanto a equação é
y^{\frac{1}{n(n-1)}}=n(1-n).
Agora elevamos ambos os lados à potência n(n-1) (novamente observando que isso só é válido se respeitarmos a natureza real das raízes e sinais):
y =\big(n(1-n)\big)^{\,n(n-1)}.
Lembrando que x=y^{n}, obtemos:
x = y^{n}=\Big(\big(n(1-n)\big)^{\,n(n-1)}\Big)^{n}=\big(n(1-n)\big)^{\,n^{2}(n-1)}.
Mas podemos simplificar a potência composta (ou reescrever de modo mais direto): como anteriormente tínhamos x^{(n+1)/n}=(n(1-n))^{\,n^{2}-1}, uma simplificação direta leva a
x=\big(-n(n-1)\big)^{\,n(n-1)}.
(esta forma é equivalente à expressão anterior, lembrando que n(1-n)=-n(n-1).)
Vou manter a forma
\boxed{x=\big(-n(n-1)\big)^{\,n(n-1)}}.
Isso é a solução formal obtida por manipulação algébrica.

Passo 4

Agora é crucial analisar a validade real dessa solução, ou seja, se a expressão realmente satisfaz a equação original no ramo real — aqui entram as regras sobre índices pares/ímpares e sinais.
Relembrando os pontos de domínio:
  • A raiz interna \sqrt[n]{x}=y é uma função real bem definida para todo x quando n é ímpar; quando n é par, exige x\ge 0 e então y\ge 0.
  • A raiz externa tem índice n^{2}-1. Se n é par, então n^{2} é par e n^{2}-1 é ímpar; se n é ímpar, então n^{2} é ímpar e n^{2}-1 é par. Assim:
    • Para n par: índice externo é ímpar → pode extrair raiz real de número negativo ou positivo.
    • Para n ímpar: índice externo é par → o argumento da raiz externa deve ser \ge 0.
Examine o lado direito que igualamos à raiz:
\sqrt[n^{2}-1]{\,y^{n+1}\,}=n(1-n).
Note que n(1-n)=n-n^{2}. Para valores inteiros n\ge 2 isso é negativo (pois n-n^{2}=n(1-n)\le 0 e estritamente negativo para n\ge2). Para 0<n<1 seria positivo; porém n no contexto usual de índice de raiz costuma ser inteiro natural. Vamos focar no caso natural n\ge2, que é o mais provável no enunciado escolar.
  • Se n é par (ex.: n=2,4,\dots): índice externo é ímpar, portanto o valor da raiz externa pode ser negativo. Contudo, quando n é par, a raiz interna \sqrt[n]{x}=y exige x\ge0, logo y\ge0. Então y^{\,n+1}\ge0. A raiz ímpar de um número não negativo é não negativa. Portanto o lado esquerdo é \ge0, mas o lado direito n(1-n) é \le0 e, para n\ge2, estritamente negativo. Conclusão: impossibilidade — não há x real que torne a igualdade verdadeira.
  • Se n é ímpar (ex.: n=3,5,\dots): índice externo é par, portanto o argumento da raiz externa deve ser \ge0. Assim y^{n+1}\ge0 (já que é o argumento). Então a raiz externa é \ge0. De novo o lado esquerdo é \ge0 enquanto o lado direito n(1-n) é negativo para n\ge2. Novamente impossibilidade.
Portanto, para todo inteiro natural n\ge2 (caso natural do enunciado), não existe x real que satisfaça a equação. A “solução formal” algébrica \big(-n(n-1)\big)^{n(n-1)} surge da manipulação das potências, mas falha em respeitar as restrições de sinal/índice das raízes reais — logo não produz uma solução real válida no contexto natural de índices.

Passo 5

Concluir e relacionar com as alternativas.
  • Concluímos que, para os valores usuais de n como inteiro natural (e em particular para n\ge2), não existe solução real x da equação original.
  • Portanto nenhuma das alternativas fornecidas — n,\;n^{2},\;-2,\;-1 — é uma solução real válida da equação para os n naturais considerados.
Se alguém quisesse considerar n não inteiro e em especial 0<n<1, a análise muda (pois então n(1-n)>0 e formalmente pode haver valores reais de x dados por a expressão encontrada), mas esse caso foge ao contexto padrão de índices de raiz (índices normalmente inteiros positivos) e as alternativas oferecidas não batem com a expressão geral.

Resposta

Nenhuma das alternativas.

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