1. Um barqueiro quer atravessar um canal que fica a 3 km de largura e quer atracar em um ponto 2 km rio acima do seu ponto de partida. A corrente flui no canal a 3,5 km / h e a velocidade do seu barco é 13 km / h.
    (a) Em que direção ele deve dirigir?
    (b) Quanto tempo a viagem vai demorar?

Passo 1

O enunciado diz que o canal tem largura de 3,km (distância perpendicular às margens) e que o barqueiro quer desembarcar num ponto 2,km rio acima do ponto de partida. A corrente tem velocidade de 3,5,km/h no sentido rio abaixo, e o barco tem velocidade relativa à água de 13,km/h.
Conteúdo: decomposição vetorial de velocidades e uso de sistema de referência para impor deslocamentos desejados em x (atravessar) e y (subir o rio).

Passo 2

Escolhemos o eixo x perpendicular às margens (positivo para atravessar) e o eixo y no sentido rio acima (positivo para subir).
A velocidade do barco em relação à água é
l(Vx,Vyr)=l(13cosalpha,;13sinalphar)
e a corrente adiciona l(0,,-3,5r). Assim a velocidade resultante em relação à terra é
vx = 13cosalpha, vy = 13sinalpha - 3,5

Passo 3

Para chegar 3,km em x e 2,km em y, o tempo t satisfaz
vx cdot t = 3, vy cdot t = 2
Dividindo a segunda pela primeira:
13sinalpha - 3,513cosalpha = 23

Passo 4

Multiplicando em cruz:
13sinalpha - 3,5 = 23,13cosalpha ;Longrightarrow; 13sinalpha - 3,5 = 263cosalpha
Multiplicando por 3:
39sinalpha - 10,5 = 26cosalpha Longrightarrow 39sinalpha - 26cosalpha = 10,5

Passo 5

Note que
raiz39^2 + 26^2 = raiz2197 = 13raiz13 = A,
e definimos phi tal que
cosphi = 39A, sinphi = 26A,
ou seja tanphi = tfrac2639=tfrac23.
Então
39sinalpha - 26cosalpha = Asin(alpha - phi)
e a equação vira
Asin(alpha - phi) = 10,5 ;Longrightarrow; sin(alpha - phi) = 10,513raiz13approx 0,224
Logo
alpha - phi = arcsin(0,224)approx 12,9^circ,
com phi = arctanl(tfrac23r)approx 33,7^circ. Portanto
alpha approx 33,7^circ + 12,9^circ = 46,6^circ

Passo 6

Com alphaapprox46,6^circ, o tempo de travessia é
t = 3vx = 313cos(46,6^circ) approx 313cdot0,686 approx 0,336 h approx 20,2 min

Resposta

(a) Ele deve apontar o barco fazendo um ângulo de aproximadamente 46,6^circ rio acima em relação à direção perpendicular ao canal.
(b) A viagem demora cerca de 0,336 horas, isto é, aproximadamente 20,2 minutos.

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