Calcule a taxa de variação da massa específica de um fluido, sabendo que:
\rho=\rho_{0}+(x y-y z+2 x y z) t \mathbf{e} v=[2 x+\cos (y)] \overrightarrow{\mathrm{i}}+[\operatorname{sen}(x)-2 y] \overrightarrow{\mathrm{j}}-4 z \overrightarrow{\mathrm{k}}. Calcule a taxa de variação pela equação da continuidade.

Passo 1

O enunciado dá a expressão da massa específica e do campo de velocidade e pede a taxa de variação da massa específica usando a equação da continuidade. Dados fornecidos:
\rho=\rho_{0}+(x y-y z+2 x y z)\, t.
\mathbf{v}=[2 x+\cos(y)]\,\mathbf{i}+[\sin(x)-2 y]\,\mathbf{j}-4 z\,\mathbf{k}.
Pergunta: calcular a taxa de variação da massa específica do fluido pela equação da continuidade (isto é, encontrar a variação material \frac{D\rho}{Dt} usando a equação da continuidade).

Passo 2

Apresentando a equação da continuidade e explicando os termos (aula rápida): a equação diferencial da conservação de massa para um fluido é
\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\mathbf{v})=0.
Aqui \rho=\rho(x,y,z,t) é a massa específica, \mathbf{v}=\mathbf{v}(x,y,z,t) é o campo de velocidade, \partial \rho/\partial t é a derivada parcial no tempo em um ponto fixo do espaço, e \nabla\cdot(\rho\mathbf{v}) é a divergência do fluxo de massa. Podemos reescrever essa equação em termos da derivada material (derivada seguindo uma partícula do fluido). A derivada material de \rho é
\frac{D\rho}{Dt}=\frac{\partial \rho}{\partial t}+\mathbf{v}\cdot\nabla\rho,
onde \nabla\rho é o gradiente espacial de \rho e \mathbf{v}\cdot\nabla\rho representa a variação espacial transportada pela velocidade. A identidade algébrica transforma a continuidade em
\frac{D\rho}{Dt}+\rho(\nabla\cdot\mathbf{v})=0,
portanto isolando a derivada material obtemos a fórmula prática que vamos usar:
\frac{D\rho}{Dt}=-\rho\,(\nabla\cdot\mathbf{v}).
Explicação intuitiva: a taxa de variação seguindo a partícula é igual a menos a densidade vezes a expansão local do fluido (divergência). Se o fluido diverge positivamente, a densidade diminui, e vice-versa.

Passo 3

Calcular a divergência do campo de velocidade \mathbf{v}. Lembra: para \mathbf{v}=(v_x,v_y,v_z) temos \nabla\cdot\mathbf{v}=\partial v_x/\partial x+\partial v_y/\partial y+\partial v_z/\partial z.
Aqui v_x=2x+\cos(y), v_y=\sin(x)-2y, v_z=-4z.
Calcule cada derivada:
\frac{\partial v_x}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(2x+\cos(y))=2,
\frac{\partial v_y}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(\sin(x)-2y)=-2,
\frac{\partial v_z}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(-4z)=-4.
Somando,
\nabla\cdot\mathbf{v}=2+(-2)+(-4)=-4.
Comentário: a divergência ficou constante e igual a -4, independentemente de (x,y,z,t).

Passo 4

Substituir a divergência na fórmula da continuidade. Usando
\frac{D\rho}{Dt}=-\rho\,(\nabla\cdot\mathbf{v})
e \nabla\cdot\mathbf{v}=-4, obtemos a relação que liga a derivada material à própria densidade (aqui eu mostro a substituição; o resultado final compacto fica na seção de resposta):
\frac{D\rho}{Dt}=-\rho\cdot(-4).

Passo 5

Simplificando a expressão da etapa anterior: -\rho\cdot(-4)=4\rho. Agora podemos também escrever essa taxa de variação explicitando \rho pela fórmula dada no enunciado. Como
\rho=\rho_{0}+(x y-y z+2 x y z)\, t,
temos
\frac{D\rho}{Dt}=4\left[\rho_{0}+(x y-y z+2 x y z)\, t\right].

Resposta

\displaystyle \frac{D\rho}{Dt}=4\,\rho\n \displaystyle \frac{D\rho}{Dt}=4\Bigl[\rho_{0}+(x y-y z+2 x y z)\, t\Bigr]

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