Calcule a taxa de variação da massa específica de um fluido, sabendo que:
. Calcule a taxa de variação pela equação da continuidade.
Passo 1
O enunciado dá a expressão da massa específica e do campo de velocidade e pede a taxa de variação da massa específica usando a equação da continuidade. Dados fornecidos:
.
.
Pergunta: calcular a taxa de variação da massa específica do fluido pela equação da continuidade (isto é, encontrar a variação material usando a equação da continuidade).
Pergunta: calcular a taxa de variação da massa específica do fluido pela equação da continuidade (isto é, encontrar a variação material
Passo 2
Apresentando a equação da continuidade e explicando os termos (aula rápida): a equação diferencial da conservação de massa para um fluido é
Aqui
é a massa específica,
é o campo de velocidade,
é a derivada parcial no tempo em um ponto fixo do espaço, e
é a divergência do fluxo de massa. Podemos reescrever essa equação em termos da derivada material (derivada seguindo uma partícula do fluido). A derivada material de
é
onde
é o gradiente espacial de
e
representa a variação espacial transportada pela velocidade. A identidade algébrica transforma a continuidade em
portanto isolando a derivada material obtemos a fórmula prática que vamos usar:
Explicação intuitiva: a taxa de variação seguindo a partícula é igual a menos a densidade vezes a expansão local do fluido (divergência). Se o fluido diverge positivamente, a densidade diminui, e vice-versa.
Passo 3
Calcular a divergência do campo de velocidade
. Lembra: para
temos
.
Aqui ,
,
.
Calcule cada derivada:
Aqui
Calcule cada derivada:
Somando,
Comentário: a divergência ficou constante e igual a
, independentemente de
.
Passo 4
Substituir a divergência na fórmula da continuidade. Usando
e
, obtemos a relação que liga a derivada material à própria densidade (aqui eu mostro a substituição; o resultado final compacto fica na seção de resposta):
Passo 5
Simplificando a expressão da etapa anterior:
. Agora podemos também escrever essa taxa de variação explicitando
pela fórmula dada no enunciado. Como
temos