(2,5) Uma barra de aço \left(k_{\text {aço }}=72 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}\right)ç de 0,7 \mathrm{~m} de comprimento tem uma seção circular de raío 5,0 \mathrm{~cm}. Uma extremidade da barra é mantida a 100^{\circ} \mathrm{C} e a outra extremidade é mantida a 20^{\circ} \mathrm{C}. A superficie lateral da barra é isolada de modo que não há perda de calor através dela. Encontre:
a) a resistência térmica da barri ;
b) a corrente térmica I;
c) a temperatura da barra a 25 cm da extremidade quente.

Passo 1

O enunciado fala de uma barra de aço com comprimento L=0{,}7\\ \mathrm{m}, raio r=5,0\\ \mathrm{cm}=0{,}05\\ \mathrm{m}, condutividade térmica k=72\\ \mathrm{W/(m\,K)}, com as extremidades a T_{\text{quente}}=100\\ ^\circ\mathrm{C} e T_{\text{fria}}=20\\ ^\circ\mathrm{C}. A superfície lateral é isolada, de modo que o regime é de condução unidimensional em estado estacionário. Vamos precisar das fórmulas de resistência térmica
R = \frac{L}{kA}
e de corrente térmica
I = \frac{\Delta T}{R},
além do perfil de temperatura linear ao longo da barra.

Passo 2

Calcular a área da seção reta e a resistência térmica.
A = \pi r^2 = \pi\,(0{,}05)^2 \approx 7{,}85\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^2.
Logo
R = \frac{L}{k\,A} = \frac{0{,}7}{72 \times 7{,}85\times10^{-3}} \approx 1{,}24\\ \mathrm{K/W}.

Passo 3

Calcular a corrente térmica usando \Delta T = T_{\text{quente}} - T_{\text{fria}} = 100 - 20 = 80\\ ^\circ\mathrm{C}:
I = \frac{\Delta T}{R} = \frac{80}{1{,}24} \approx 64{,}5\\ \mathrm{W}.

Passo 4

Determinar a temperatura a x=0{,}25\\ \mathrm{m} da extremidade quente. Em regime estacionário a temperatura varia linearmente,
T(x) = T_{\text{quente}} - I\,\frac{x}{kA} \quad\Longrightarrow\quad T(x) = T_{\text{quente}} - (T_{\text{quente}}-T_{\text{fria}})\,\frac{x}{L}.
Substituindo,
T(0{,}25) = 100 - 80\,\frac{0{,}25}{0{,}7} \approx 100 - 28{,}6 = 71{,}4\\ ^\circ\mathrm{C}.

Resposta

a)\ R \approx 1{,}24\\ \mathrm{K/W}.
b)\ I \approx 64{,}5\\ \mathrm{W}.
c)\ T(0{,}25\\ \mathrm{m}) \approx 71{,}4\\ ^\circ\mathrm{C}.

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