(2,5) Um bloco de 1 kg de alumír io a 100^{\circ} \mathrm{C} é colocado em 4 L de água a 0^{\circ} \mathrm{C}. Calcule a variação de entropia do universo quando esses c rpos entram em equilíbrio térmico. Calor esp. do Al: 900 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} . \mathrm{K}; calor esp. da água: 4180 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} . \mathrm{K}
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RESPONDA AQUI:

Passo 1

O enunciado diz que um bloco de alumínio de massa m_{\rm Al}=1{,}0\\ \mathrm{kg} e capacidade térmica específica c_{\rm Al}=900\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}, inicialmente a 100\,^\circ\mathrm{C}, é colocado em 4\\ \mathrm L de água (massa m_{\rm H_2O}=4{,}0\\ \mathrm{kg}, c_{\rm H_2O}=4180\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}) a 0\,^\circ\mathrm{C}. Queremos a variação total de entropia do universo, que é
\Delta S_{\rm univ} =\Delta S_{\rm Al}+\Delta S_{\rm H_2O}.
Para isso precisamos:
  1. Encontrar a temperatura de equilíbrio T_f em Kelvin.
  2. Calcular \Delta S_{\rm Al}=m_{\rm Al}\,c_{\rm Al}\ln\!\bigl(T_f/T_{\rm Al,i}\bigr).
  3. Calcular \Delta S_{\rm H_2O}=m_{\rm H_2O}\,c_{\rm H_2O}\ln\!\bigl(T_f/T_{\rm H_2O,i}\bigr).

Passo 2

Convertemos temperaturas iniciais para Kelvin:
T_{\rm Al,i}=100+273{,}15=373{,}15\\ \mathrm K, \quad T_{\rm H_2O,i}=0+273{,}15=273{,}15\\ \mathrm K.
A conservação de energia (calor cedido pelo alumínio = calor ganho pela água) dá
m_{\rm Al}c_{\rm Al}\bigl(T_{\rm Al,i}-T_f\bigr) = m_{\rm H_2O}c_{\rm H_2O}\bigl(T_f-T_{\rm H_2O,i}\bigr).
Substituindo números:
1\cdot900\,(373{,}15-T_f) = 4\cdot4180\,(T_f-273{,}15).
Isso resulta em
900\cdot373{,}15-900\,T_f = 16720\,T_f-16720\cdot273{,}15
335835-900\,T_f = 16720\,T_f-4567068
335835+4567068 = 17620\,T_f \quad\Rightarrow\quad T_f\approx278{,}26\\ \mathrm K.

Passo 3

Agora calculamos a variação de entropia do alumínio, usando \Delta S=m\,c\ln(T_f/T_i):
\Delta S_{\rm Al} =1{,}0\cdot900\ln\!\Bigl(\frac{278{,}26}{373{,}15}\Bigr) =900\ln(0{,}7458) \approx900\times(-0{,}2938) =-264{,}4\\ \mathrm{J/K}.

Passo 4

A variação de entropia da água é
\Delta S_{\rm H_2O} =4{,}0\cdot4180\ln\!\Bigl(\frac{278{,}26}{273{,}15}\Bigr) =16720\ln(1{,}01862) \approx16720\times0{,}01845 =308{,}6\\ \mathrm{J/K}.

Passo 5

Somando as duas contribuições:
\Delta S_{\rm univ} =\Delta S_{\rm Al}+\Delta S_{\rm H_2O} =-264{,}4+308{,}6 =44{,}2\\ \mathrm{J/K}.

Resposta

A variação de entropia do universo é aproximadamente 44{,}2\\ \mathrm{J/K}.

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