(2,5) Um mol de um gás mon vatômico ( \mathrm{Cv}=3 \mathrm{nR} / 2 ) sob uma pressão de 4 atm sofre uma expansão isobárica de 4 L para 12 L . Depo s é resfriado a volume constante até a pressão ser reduzida a 1 atm. Em seguida é comprimido de fo ma direta até chegar no ponto inicial. Preencha a tabela, Coloque a unidade de medida que você usou.
T \Delta \mathrm{U} total W total Q total Rendim.
1
2
3

Passo 1

O enunciado descreve um ciclo termodinâmico com 1 mol de gás monoatômico ( C_v=\tfrac{3}{2}R) que passa por três processos:
  1. Expansão isobárica de P_1=4\\ \mathrm{atm}, V_1=4\\ \mathrm L até V_2=12\\ \mathrm L.
  2. Resfriamento isocórico em V=12\\ \mathrm L de P_2=4\\ \mathrm{atm} até P_3=1\\ \mathrm{atm}.
  3. Compressão de retorno de (P_3,V_3)=(1\\ \mathrm{atm},12\\ \mathrm L) a (P_1,V_1)=(4\\ \mathrm{atm},4\\ \mathrm L) seguindo um caminho linear no diagrama P\!-\!V.
Para resolver vamos:
  • Calcular as temperaturas nos estados 1, 2 e 3 via equação de estado PV=nRT.
  • Aplicar \Delta U = n\,C_v\,\Delta T.
  • Calcular o trabalho W em cada processo e em seguida Q=\Delta U+W.
  • Por fim, achar o trabalho líquido do ciclo e a eficiência \eta = W_\text{líquido}/Q_\text{input}í.

Passo 2

Calcular as temperaturas usando T=PV/(nR) com n=1 mol e R=0,08206\\ \mathrm{atm\cdot L/(mol\cdot K)}:
T_1 = \frac{4\\ \mathrm{atm}\times4\\ \mathrm L}{0,08206} \approx195{,}0\\ \mathrm K,
T_2 = \frac{4\\ \mathrm{atm}\times12\\ \mathrm L}{0,08206} \approx584{,}0\\ \mathrm K,
T_3 = \frac{1\\ \mathrm{atm}\times12\\ \mathrm L}{0,08206} \approx146{,}2\\ \mathrm K.

Passo 3

Processo 1 (isobárico):
- Trabalho
W_1 = P\,(V_2 - V_1) =4\\ \mathrm{atm}\times(12-4)\\ \mathrm L =32\\ \mathrm{L\cdot atm} \approx32\times101{,}325 =3242{,}4\\ \mathrm J.
- Variação de energia interna
\Delta U_1 = n\,C_v\,(T_2 - T_1) =1\cdot\frac{3}{2}R\,(584{,}0 -195{,}0)
=\frac{3}{2}\times8{,}314\\ \frac{\mathrm J}{\mathrm{mol\cdot K}} \times389{,}0\\ \mathrm K \approx4850{,}0\\ \mathrm J.
- Calor
Q_1 = \Delta U_1 + W_1 =4850{,}0 +3242{,}4 =8092{,}4\\ \mathrm J.

Passo 4

Processo 2 (isocórico):
- Trabalho
W_2 = 0.
- Variação de energia interna
\Delta U_2 = n\,C_v\,(T_3 - T_2) =\frac{3}{2}R\,(146{,}2 -584{,}0) \approx-5459{,}6\\ \mathrm J.
- Calor
Q_2 = \Delta U_2 + W_2 =-5459{,}6\\ \mathrm J.

Passo 5

Processo 3 (caminho linear P(V)):
- Equação da reta em (V,P):
m=\frac{4-1}{4-12}=-\tfrac{3}{8}\,\frac{\mathrm{atm}}{\mathrm L},\quad b=5{,}5\\ \mathrm{atm},
P(V)=-\tfrac{3}{8}V+5{,}5.
- Trabalho
W_3 = \int_{12}^{4}P(V)\,dV = -20\\ \mathrm{L\cdot atm} \approx -20\times101{,}325 = -2026{,}5\\ \mathrm J.
- Variação de energia interna
\Delta U_3 = n\,C_v\,(T_1 - T_3) =\frac{3}{2}R\,(195{,}0 -146{,}2) \approx608{,}4\\ \mathrm J.
- Calor
Q_3 = \Delta U_3 + W_3 =608{,}4 -2026{,}5 \approx -1418{,}1\\ \mathrm J.

Passo 6

Trabalho e calor líquidos do ciclo:
W_{\rm liq}=W_1+W_2+W_3 =3242{,}4+0 -2026{,}5 =1215{,}9\\ \mathrm J,
Q_{\rm liq}=Q_1+Q_2+Q_3 =8092{,}4 -5459{,}6 -1418{,}1 \approx1214{,}7\\ \mathrm J.
Como Q_{\rm liq}=W_{\rm liq}, \Delta U_{\rm ciclo}=0.
A eficiência do ciclo (calor recebido somente em processo 1) é
\eta = \frac{W_{\rm liq}}{Q_1} =\frac{1215{,}9}{8092{,}4} \approx0{,}1502 \quad\bigl(15{,}02\%\bigr).

Resposta

Segue a tabela com as unidades:
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Proc.} & \text{Tipo} & \Delta U\\ (\mathrm J) & W\\ (\mathrm J) & Q\\ (\mathrm J) & \eta \\\ \hline 1 & \text{Isobárico} & +4850{,}0 & +3242{,}4 & +8092{,}4 & -- \\\ \hline 2 & \text{Isocórico} & -5459{,}6 & 0 & -5459{,}6 & -- \\\ \hline 3 & \text{Linear }P(V) & +608{,}4 & -2026{,}5 & -1418{,}1 & 15{,}02\% \\\ \hline \end{array}

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