A barra de aço sólida é submetida à torção (T), determine: A tensão de cisalhamento máxima e o ângulo de torção entre as extremidades para um torque T=340 \mathrm{kN} \cdot \mathrm{mm}. Dados: r=20 \mathrm{~mm} ; L=1400 \mathrm{~mm} (comprimento) e G=80 \mathrm{GPa}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: a) a tensão de cisalhamento máxima na barra submetida ao torque e b) o ângulo de torção (ângulo entre as extremidades) para a barra.
Dados que usei (peguei do enunciado/figura): T=340\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{mm}, r=20\\ \mathrm{mm}, L=1400\\ \mathrm{mm} e G=80\\ \mathrm{GPa}.
Para trabalhar com consistência nas unidades de N e mm, converti:
T=340\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{mm}=340{,}000\\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{mm}
G=80\\ \mathrm{GPa}=80{,}000\\ \mathrm{N/mm}^2
As perguntas que vou responder são, então: calcular \tau_{\max} e calcular o ângulo de torção \varphi (entre as extremidades).

Passo 2

Vou calcular primeiro a inércia polar da seção circular sólida, J, que é a grandeza geométrica que mede a resistência à torção. Para uma seção circular sólida a fórmula é:
J=\frac{\pi}{2}\,r^4
onde r é o raio da seção (unidade: \mathrm{mm}) e J tem unidade \mathrm{mm}^4. Explico rápido: J vem da integral \int \rho^2\,dA em coordenadas polares; para o círculo sólido isso resulta em \pi r^4/2. Agora calculo com r=20\\ \mathrm{mm}.
Calcule r^2 e r^4:
r^2=20^2=400
r^4=400^2=160{,}000
Substituindo:
J=\frac{\pi}{2}\cdot 160{,}000=80{,}000\pi\\ \mathrm{mm}^4
Valor numérico aproximado:
J\approx 80{,}000\times 3{,}1416\approx 251{,}327{,}4\\ \mathrm{mm}^4

Passo 3

A tensão de cisalhamento devido à torção em uma fibra a distância \rho do centro é dada por
\tau(\rho)=\frac{T\,\rho}{J}
onde T é o torque (em \mathrm{N}\cdot\mathrm{mm}), \rho é a distância radial (em \mathrm{mm}) e J é a inércia polar. A tensão máxima ocorre na fibra mais externa, ou seja \rho=r. Logo:
\tau_{\max}=\frac{T\,r}{J}
Agora substituo os valores: T=340{,}000\\ \mathrm{N\cdot mm}, r=20\\ \mathrm{mm}, J=80{,}000\pi\\ \mathrm{mm}^4.
Faço os cálculos passo a passo:
T\,r=340{,}000\times 20=6{,}800{,}000
\tau_{\max}=\frac{6{,}800{,}000}{80{,}000\pi}=\frac{85}{\pi}\\ \mathrm{N/mm}^2
Valor numérico:
\tau_{\max}\approx\frac{85}{3{,}1416}\approx 27{,}05\\ \mathrm{N/mm}^2
Observação: 1\\ \mathrm{N/mm}^2=1\\ \mathrm{MPa}, então \tau_{\max}\approx 27{,}05\\ \mathrm{MPa}.

Passo 4

Agora calculo o ângulo de torção \varphi entre as extremidades. A fórmula para o ângulo de torção de uma barra uniforme submetida a torque constante é:
\varphi=\frac{T\,L}{J\,G}
onde L é o comprimento da barra, G o módulo de cisalhamento e as outras grandezas já definidas. Essa fórmula vem de integrar a relação local entre torque e taxa de torção por unidade de comprimento: \dfrac{d\varphi}{dx}=\dfrac{T}{J\,G}, que é constante se T,J,G são constantes ao longo do comprimento; integrar de 0 a L dá a expressão acima.
Substituo os números. Primeiro T\,L:
T\,L=340{,}000\times 1{,}400=476{,}000{,}000\\ \mathrm{N\cdot mm}^2
J\,G=(80{,}000\pi)\times 80{,}000=6{,}400{,}000{,}000\pi\\ \mathrm{N\cdot mm}^2.
Logo:
\varphi=\frac{476{,}000{,}000}{6{,}400{,}000{,}000\pi}=\frac{476}{6{,}400\pi}=\frac{0{,}074375}{\pi}\\ \mathrm{rad}
Valor numérico:
\varphi\approx\frac{0{,}074375}{3{,}1416}\approx 0{,}02368\\ \mathrm{rad}
É comum também dar o ângulo em graus; converto:
\phi_{\text{(deg)}}=\varphi\cdot\frac{180^\circ}{\pi}\approx 0{,}02368\times 57{,}2958\approx 1{,}356^\circ

Passo 5

Resumo físico e interpretação curta (para te animar): a tensão de cisalhamento máxima \approx 27{,}05\\ \mathrm{MPa} é relativamente pequena comparada ao limite de escoamento de aços comuns (centenas de MPa), então essa torção é moderada. O ângulo entre as extremidades de cerca de 1{,}36^\circ é pequeno, então a barra gira pouco ao longo de 1{,}4\\ \mathrm{m}.

Resposta

\tau_{\max}=27{,}05\\ \mathrm{N/mm}^2 (ou 27{,}05\\ \mathrm{MPa})
\varphi=0{,}02368\\ \mathrm{rad}\approx 1{,}356^\circ

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