Uma partícula se move sobre o eixo x sobre a influência de uma energia potencial
U(x)=\frac{x(x-3)^{2}}{3}
Mostre que existe apenas um único ponto de equilíbrio estável.
Passo 1
O enunciado dá a energia potencial
U(x)=\frac{x(x-3)^{2}}{3}
e pede para mostrar que existe apenas um único ponto de equilíbrio estável.
Informações relevantes fornecidas:
A função U(x) está definida para todo x\in\mathbb{R}.
Precisamos identificar pontos de equilíbrio e verificar qual(is) é(são) estáveis.
Passo 2
Conceitos que vamos usar (explicação didática):
Equilíbrio ocorre quando a força resultante sobre a partícula é zero. A força relacionada a uma energia potencial é dada por \,F(x)=-\dfrac{dU}{dx}\,. Portanto, pontos de equilíbrio são as soluções de \dfrac{dU}{dx}=0.
Estabilidade: se ao deslocar um pouco a partícula a energia aumenta (isto é, U tem um mínimo local), então a partícula tende a voltar ao ponto original — isso é equilíbrio estável. Matematicamente, se em um ponto crítico x_0 tivermos \dfrac{d^2U}{dx^2}\big|_{x_0}>0, então x_0 é um mínimo local e é estável. Se \dfrac{d^2U}{dx^2}\big|_{x_0}<0, é máximo local e instável. Se \dfrac{d^2U}{dx^2}\big|_{x_0}=0, é preciso análise de ordem superior (mas só faremos isso se acontecer).
Passo 3
Calcular a derivada primeira \dfrac{dU}{dx} passo a passo. Começamos com
U(x)=\frac{1}{3}\,x\,(x-3)^{2}.
Usamos a regra do produto: derivada de x vezes (x-3)^2 mais x vezes a derivada de (x-3)^2. Assim,
Como a segunda derivada é negativa, x=1 é um máximo local de U e, portanto, é um ponto de equilíbrio instável.
Em x=3:
\frac{d^{2}U}{dx^{2}}\bigg|_{x=3}=2\cdot 3-4=2>0.
Como a segunda derivada é positiva, x=3 é um mínimo local de U e, portanto, é um ponto de equilíbrio estável.
Passo 7
Conclusão sobre unicidade: os pontos de equilíbrio são apenas x=1 e x=3 (obtidos resolvendo \dfrac{dU}{dx}=0). Desses dois, apenas x=3 tem \dfrac{d^{2}U}{dx^{2}}>0, ou seja, é o único mínimo local e, portanto, o único ponto de equilíbrio estável. Não há outros pontos críticos, logo não há outros equilíbrios estáveis.