Uma partícula se move sobre o eixo x sobre a influência de uma energia potencial
U(x)=\frac{x(x-3)^{2}}{3}
Mostre que existe apenas um único ponto de equilíbrio estável.

Passo 1

O enunciado dá a energia potencial
U(x)=\frac{x(x-3)^{2}}{3}
e pede para mostrar que existe apenas um único ponto de equilíbrio estável.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função U(x) está definida para todo x\in\mathbb{R}.
  • Precisamos identificar pontos de equilíbrio e verificar qual(is) é(são) estáveis.

Passo 2

Conceitos que vamos usar (explicação didática):
  • Equilíbrio ocorre quando a força resultante sobre a partícula é zero. A força relacionada a uma energia potencial é dada por \,F(x)=-\dfrac{dU}{dx}\,. Portanto, pontos de equilíbrio são as soluções de \dfrac{dU}{dx}=0.
  • Estabilidade: se ao deslocar um pouco a partícula a energia aumenta (isto é, U tem um mínimo local), então a partícula tende a voltar ao ponto original — isso é equilíbrio estável. Matematicamente, se em um ponto crítico x_0 tivermos \dfrac{d^2U}{dx^2}\big|_{x_0}>0, então x_0 é um mínimo local e é estável. Se \dfrac{d^2U}{dx^2}\big|_{x_0}<0, é máximo local e instável. Se \dfrac{d^2U}{dx^2}\big|_{x_0}=0, é preciso análise de ordem superior (mas só faremos isso se acontecer).

Passo 3

Calcular a derivada primeira \dfrac{dU}{dx} passo a passo. Começamos com
U(x)=\frac{1}{3}\,x\,(x-3)^{2}.
Usamos a regra do produto: derivada de x vezes (x-3)^2 mais x vezes a derivada de (x-3)^2. Assim,
\frac{dU}{dx}=\frac{1}{3}\big((x-3)^{2}+x\cdot 2(x-3)\big).
Agora fatoramos (x-3) no numerador:
(x-3)^{2}+2x(x-3)=(x-3)\big((x-3)+2x\big)=(x-3)(3x-3).
Portanto
\frac{dU}{dx}=\frac{1}{3}\,(x-3)(3x-3).
Simplificando 3 com \tfrac{1}{3} obtemos
\frac{dU}{dx}=(x-3)(x-1).

Passo 4

Encontrar os pontos críticos resolvendo \dfrac{dU}{dx}=0. Da expressão obtida,
(x-3)(x-1)=0,
logo os pontos críticos são
x=1\quad\text{e}\quad x=3.

Passo 5

Calcular a segunda derivada \dfrac{d^{2}U}{dx^{2}} para testar estabilidade. Derivando \dfrac{dU}{dx}=(x-3)(x-1) obtemos
\frac{d^{2}U}{dx^{2}}=\frac{d}{dx}\big[(x-3)(x-1)\big]=(x-3)'\,(x-1)+(x-3)\,(x-1)'.
Como as derivadas de x-3 e x-1 são 1, isso dá
\frac{d^{2}U}{dx^{2}}=(x-1)+(x-3)=2x-4.

Passo 6

Avaliar \dfrac{d^{2}U}{dx^{2}} nos pontos críticos e interpretar:
  • Em x=1:
\frac{d^{2}U}{dx^{2}}\bigg|_{x=1}=2\cdot 1-4=-2<0.
Como a segunda derivada é negativa, x=1 é um máximo local de U e, portanto, é um ponto de equilíbrio instável.
  • Em x=3:
\frac{d^{2}U}{dx^{2}}\bigg|_{x=3}=2\cdot 3-4=2>0.
Como a segunda derivada é positiva, x=3 é um mínimo local de U e, portanto, é um ponto de equilíbrio estável.

Passo 7

Conclusão sobre unicidade: os pontos de equilíbrio são apenas x=1 e x=3 (obtidos resolvendo \dfrac{dU}{dx}=0). Desses dois, apenas x=3 tem \dfrac{d^{2}U}{dx^{2}}>0, ou seja, é o único mínimo local e, portanto, o único ponto de equilíbrio estável. Não há outros pontos críticos, logo não há outros equilíbrios estáveis.

Resposta

x=3

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