Verifique se a força gravitacional
sobre uma massa pontual
em
, devido a um massa pontual fixa
na origem, é conservativa e calcule a energia potencial correspondente.
Passo 1
O enunciado dá a força gravitacional sobre uma massa pontual
situada em
, causada por uma massa pontual fixa
na origem:
onde
e
. As perguntas são:
- Verificar se essa força é conservativa (isto é, se existe uma função escalar
tal que ). - Calcular a energia potencial
correspondente (e, se quiser, escolher a constante conveniente, por exemplo ).
Informações relevantes dadas:, e são constantes positivas; a força está escrita em termos da distância radial e do versor radial . A força não está definida em (origem).
Passo 2
O que significa “conservativa” — pequena aula prática e intuitiva:
- Uma força
é conservativa se o trabalho realizado por é independente do caminho; equivalentemente, se o trabalho em qualquer curva fechada é zero. - Em cálculo vetorial, isso é equivalente (em domínios apropriados) à existência de uma função escalar
tal que
Aqui
é o vetor das derivadas parciais de
:
.
- Uma maneira prática de verificar conservatividade é mostrar que
em um domínio simplesmente conectado onde é definida; outra maneira é encontrar explicitamente uma função tal que . Vou seguir a via construtiva (achar ) e comentar a condição do rotacional.
Passo 3
Expressar
em coordenadas cartesianas úteis e lembrar uma identidade importante:
- Escrevendo o vetor posição
com e , obtemos
- Uma identidade muito útil (que vamos provar em seguida) é
Se essa identidade for verdadeira, então fica claro que
está ligado ao gradiente de
.
Passo 4
Provar a identidade
(passo a passo):
- Defina
. - Calcule a derivada parcial em relação a
:
- Analogamente,
- Portanto o gradiente é
Esta identidade vale para todo
com
.
Passo 5
Usar a identidade para escrever
como gradiente:
- Da identidade temos
. Multiplicando por , obtemos
- Logo
é já um gradiente de uma função escalar (note que é o gradiente de ):
- Como na definição física de energia potencial escolhemos
, podemos tomar
onde
é constante arbitrária. Assim a força é conservativa no domínio onde está definida (
), pois ela é igual a
.
Passo 6
Interpretação física e escolha da constante:
- Em física costuma-se escolher a constante de modo que
. Fazendo isso, tome e obtém-se a energia potencial gravitacional usual
- Observação sobre o domínio: a força não é definida em
, mas em temos uma função bem definida e ali. Como mostramos explicitamente , não precisamos apenas do critério do rotacional para concluir a conservatividade global no domínio onde a força está definida.
Passo 7
Verificação extra (checar
explicitamente):
- Calcule
para . Usando a identidade do Passo 4,
- Então
confirmando que
é a energia potencial correta.
Resposta
Sim — a força é conservativa no domínio
.
(com a convenção
).