Verifique se a força gravitacional
\mathbf{F}=-\frac{G M m}{r^{2}} \hat{\mathbf{r}}
sobre uma massa pontual m em \mathbf{r}, devido a um massa pontual fixa M na origem, é conservativa e calcule a energia potencial correspondente.

Passo 1

O enunciado dá a força gravitacional sobre uma massa pontual m situada em \mathbf{r}, causada por uma massa pontual fixa M na origem:
\mathbf{F}(\mathbf{r}) = -\frac{G M m}{r^{2}} \,\hat{\mathbf{r}}
onde \hat{\mathbf{r}}=\dfrac{\mathbf{r}}{r} e r=|\mathbf{r}|. As perguntas são:
  1. Verificar se essa força é conservativa (isto é, se existe uma função escalar U(\mathbf{r}) tal que \mathbf{F}=-\nabla U).
  2. Calcular a energia potencial U(\mathbf{r}) correspondente (e, se quiser, escolher a constante conveniente, por exemplo U(\infty)=0).
    Informações relevantes dadas: G, M e m são constantes positivas; a força está escrita em termos da distância radial r e do versor radial \hat{\mathbf{r}}. A força não está definida em r=0 (origem).

Passo 2

O que significa “conservativa” — pequena aula prática e intuitiva:
  • Uma força \mathbf{F} é conservativa se o trabalho realizado por \mathbf{F} é independente do caminho; equivalentemente, se o trabalho em qualquer curva fechada é zero.
  • Em cálculo vetorial, isso é equivalente (em domínios apropriados) à existência de uma função escalar U(\mathbf{r}) tal que
\mathbf{F}(\mathbf{r}) = -\nabla U(\mathbf{r}).
Aqui \nabla U é o vetor das derivadas parciais de U: \nabla U=(\partial U/\partial x,\partial U/\partial y,\partial U/\partial z).
  • Uma maneira prática de verificar conservatividade é mostrar que \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0} em um domínio simplesmente conectado onde \mathbf{F} é definida; outra maneira é encontrar explicitamente uma função U tal que \mathbf{F}=-\nabla U. Vou seguir a via construtiva (achar U) e comentar a condição do rotacional.

Passo 3

Expressar \mathbf{F} em coordenadas cartesianas úteis e lembrar uma identidade importante:
  • Escrevendo o vetor posição \mathbf{r}=(x,y,z) com r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} e \hat{\mathbf{r}}=\mathbf{r}/r, obtemos
\mathbf{F}(\mathbf{r}) = -\frac{G M m}{r^{2}}\hat{\mathbf{r}} = -\frac{G M m}{r^{2}}\cdot\frac{\mathbf{r}}{r} = -\frac{G M m\,\mathbf{r}}{r^{3}}.
  • Uma identidade muito útil (que vamos provar em seguida) é
\nabla\!\left(\frac{1}{r}\right) = -\frac{\mathbf{r}}{r^{3}}\quad\text{para }r\neq 0.
Se essa identidade for verdadeira, então fica claro que \mathbf{F} está ligado ao gradiente de 1/r.

Passo 4

Provar a identidade \nabla(1/r) = -\mathbf{r}/r^{3} (passo a passo):
  • Defina \varphi(x,y,z)=\dfrac{1}{r}=\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)^{-1/2}.
  • Calcule a derivada parcial em relação a x:
\frac{\partial \varphi}{\partial x} = -\tfrac{1}{2}\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)^{-3/2}\cdot 2x = -\frac{x}{r^{3}}.
  • Analogamente,
\frac{\partial \varphi}{\partial y} = -\frac{y}{r^{3}},\qquad \frac{\partial \varphi}{\partial z} = -\frac{z}{r^{3}}.
  • Portanto o gradiente é
\nabla\!\left(\frac{1}{r}\right)=\left(-\frac{x}{r^{3}},-\frac{y}{r^{3}},-\frac{z}{r^{3}}\right) = -\frac{\mathbf{r}}{r^{3}}.
Esta identidade vale para todo \mathbf{r} com r\neq 0.

Passo 5

Usar a identidade para escrever \mathbf{F} como gradiente:
  • Da identidade temos -\dfrac{\mathbf{r}}{r^{3}}=\nabla(1/r). Multiplicando por G M m, obtemos
\mathbf{F}(\mathbf{r}) = -\frac{G M m\,\mathbf{r}}{r^{3}} = G M m\,\nabla\!\left(\frac{1}{r}\right).
  • Logo \mathbf{F} é já um gradiente de uma função escalar (note que é o gradiente de G M m/r):
\mathbf{F}(\mathbf{r}) = \nabla\!\left(\frac{G M m}{r}\right).
  • Como na definição física de energia potencial escolhemos \mathbf{F}=-\nabla U, podemos tomar
U(\mathbf{r}) = -\frac{G M m}{r} + C,
onde C é constante arbitrária. Assim a força é conservativa no domínio onde está definida ( r\neq 0), pois ela é igual a -\nabla U.

Passo 6

Interpretação física e escolha da constante:
  • Em física costuma-se escolher a constante de modo que U(\infty)=0. Fazendo isso, tome C=0 e obtém-se a energia potencial gravitacional usual
U(r) = -\frac{G M m}{r}\quad\text{(com }U(\infty)=0\text{).}
  • Observação sobre o domínio: a força não é definida em r=0, mas em \mathbb{R}^{3}\setminus\{0\} temos uma função U bem definida e \mathbf{F}=-\nabla U ali. Como mostramos explicitamente U, não precisamos apenas do critério do rotacional para concluir a conservatividade global no domínio onde a força está definida.

Passo 7

Verificação extra (checar -\nabla U=\mathbf{F} explicitamente):
  • Calcule \nabla U para U(r)=-GMm/r. Usando a identidade do Passo 4,
\\ \nabla U = -G M m\,\nabla\!\left(\frac{1}{r}\right) = -G M m\left(-\frac{\mathbf{r}}{r^{3}}\right) = \frac{G M m\,\mathbf{r}}{r^{3}}.
  • Então
-\nabla U = -\frac{G M m\,\mathbf{r}}{r^{3}} = -\frac{G M m}{r^{2}}\hat{\mathbf{r}} = \mathbf{F},
confirmando que U é a energia potencial correta.

Resposta

Sim — a força é conservativa no domínio r\neq 0.
U(r) = -\dfrac{G M m}{r} (com a convenção U(\infty)=0).

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