a) Uma barra cilíndrica de aço com comprimento L=1,00 \mathrm{~m} e diâmetro D=10,0 \mathrm{~mm} é submetida a torção. Os seguintes dados de massa m(\mathrm{~kg}) e ângulo de torção \theta (graus) foram obtidos:
m(\mathrm{~g}) 50,0 100,0 150,0 200 250
\theta\left({ }^{\circ}\right) 2,0 4,1 6,3 8,2 10,4
Construa o gráfico de \theta \times m.
b) Ajuste uma reta aos dados e determine a constante de torção k da barra, onde:
\theta=k \cdot m .
c) Sabendo que o módulo de cisalhamento G é dado por:
G=\frac{32 \cdot k \cdot L}{\pi D^{4}}
calcule G.
d) Compare o valor obtido com valores típicos para o aço ( G \approx 80 \mathrm{GPa} ) e discuta possíveis fontes de erro.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas:
  • (a) Construir o gráfico de \theta\times m usando os dados experimentais.
  • (b) Ajustar uma reta aos dados e determinar a constante de torção k definida por \theta = k\cdot m.
  • (c) Calcular o módulo de cisalhamento G usando \displaystyle G=\frac{32\cdot k\cdot L}{\pi D^{4}}.
  • (d) Comparar o resultado com o valor típico para o aço ( G\approx 80\\ \mathrm{GPa}) e discutir possíveis fontes de erro.
Dados fornecidos (peguei-os da tabela do enunciado):
\begin{array}{lll} \text{massa (g)} & : & 50{,}0,\\\ 100{,}0,\\\ 150{,}0,\\\ 200{,}0,\\\ 250{,}0\\[4pt] \theta\\ (\text{graus}) & : & 2{,}0,\\\ 4{,}1,\\\ 6{,}3,\\\ 8{,}2,\\\ 10{,}4 \end{array}
Parâmetros geométricos (dados no enunciado):
L=1{,}00\\ \mathrm{m},\qquad D=10{,}0\\ \mathrm{mm}.]

Passo 2

Organizar os dados em unidades SI e justificar por quê.
Por que converter?
  • Para usar fórmulas físicas e obter G em pascal precisamos de massas em quilograma ( \mathrm{kg}), comprimentos em metro ( \mathrm{m}), e o ângulo em radianos ( \mathrm{rad}). O enunciado deu massa em gramas e ângulo em graus, por isso convertemos.
Conversões:
\begin{aligned} m\\ (\mathrm{kg}) &= \text{massa (g)}\times 10^{-3},\\[4pt] \theta\\ (\mathrm{rad}) &= \theta\\ (\text{graus})\times \frac{\pi}{180}. \end{aligned}
Calculei cada valor (usei \pi\approx 3{,}1415926536):
\begin{array}{lll} m\\ (\mathrm{kg}): & 0{,}050,\\\ 0{,}100,\\\ 0{,}150,\\\ 0{,}200,\\\ 0{,}250,\\[3pt] \theta\\ (\mathrm{rad}): & 0{,}0349066,\\\ 0{,}0715585,\\\ 0{,}1099557,\\\ 0{,}1431170,\\\ 0{,}1815142. \end{array}
Explicação rápida sobre radianos: um radiano é a medida de ângulo onde o arco tem comprimento igual ao raio; para converter graus em radianos multiplicamos por \pi/180. Em física de torção usamos radianos porque as fórmulas lineares de torque versus ângulo assumem ângulo em radianos.]

Passo 3

Como construir o gráfico \theta\times m (instrução passo a passo, pois você pediu jeito de fazer na prova):
  • Eixo horizontal (abscissa): massa m. Pode usar m em gramas se preferir desenhar com os dados originais; se quiser consistência com unidades SI (recomendado), use m em quilogramas.
  • Eixo vertical (ordenada): \theta. Novamente pode plotar em graus (mais direto) ou em radianos (recomendado para cálculo).
  • Marque os pontos correspondentes: por exemplo (0{,}050,\;0{,}0349066), etc. (estes números estão em (m\\ \mathrm{kg},\\ \theta\\ \mathrm{rad})).
  • Ligue os pontos com um lápis: os pontos parecem alinhados (comportamento linear proporcional).
  • Para ajustar a reta na prova sem calculadora, você pode traçar a reta que “melhor passa” pelos pontos (método gráfico) ou calcular o coeficiente angular por mínimos quadrados (método exato que faço a seguir).
Observação: no enunciado pediu apenas construir o gráfico; é importante indicar que os pontos formam uma reta que passa praticamente pela origem (proporcionalidade).

Passo 4

Decidir o método de ajuste e explicar por quê.
  • O enunciado deu a forma \theta = k\cdot m. Isso é uma relação linear sem termo independente (reta passando pela origem). Fica natural usar o ajuste linear forçado a passar pela origem.
  • Método escolhido: ajuste por mínimos quadrados com intercepto zero (método simples e matematicamente correto para relação proporcional). Fórmula do coeficiente angular k (quando intercepto = 0):
k=\frac{\sum_{i} m_i\,\theta_i}{\sum_{i} m_i^{2}}.
Explicação da fórmula (intuição): queremos minimizar a soma dos quadrados dos desvios \sum(\theta_i - k m_i)^2. Derivando em relação a k e anulando a derivada obtemos a fórmula acima.

Passo 5

Aplicar a fórmula do ajuste com os números (mostrando as contas passo a passo).
Primeiro calculei os produtos m_i\theta_i e as massas ao quadrado m_i^2 usando os valores em \mathrm{kg} e \mathrm{rad}:
\begin{aligned} \sum_i m_i\theta_i &= 0{,}05\cdot0{,}0349065850 + 0{,}10\cdot0{,}0715584993 + 0{,}15\cdot0{,}1099557429\\\ &\quad +0{,}20\cdot0{,}1431169987 + 0{,}25\cdot0{,}1815142422\\\ &=0{,}00174532925+0{,}00715584993+0{,}01649336143\\\ &\quad+0{,}02862339973+0{,}04537856055\\\ &=0{,}09939650090. \end{aligned}
\sum_i m_i^2 = 0{,}05^2+0{,}10^2+0{,}15^2+0{,}20^2+0{,}25^2 = 0{,}1375.
Agora compute k:
k=\frac{0{,}09939650090}{0{,}1375}=0{,}7228836420\\ \left(\mathrm{rad/kg}\right).
Interpretação: isso significa que, no experimento, o ângulo cresce em média 0{,}7229 rad por cada quilograma de massa adicionada (segundo o ajuste linear forçado pela origem).
Se quiser um número mais intuitivo em unidades originais da tabela: em graus por grama
k_{\text{(deg/g)}}=k\cdot\frac{180}{\pi}\cdot10^{-3}\approx 0{,}04142\\ \left(\text{grau por grama}\right),
o que bate com a observação rápida (10{,}4-2{,}0)/(250-50)=0{,}042\\ \text{grau/g} (coisa parecida).

Passo 6

Usar a fórmula dada para G e calcular passo a passo.
A fórmula dada no enunciado é
G=\frac{32\cdot k\cdot L}{\pi D^{4}}.
Aqui:
  • k é a constante obtida no ajuste (usei k em \mathrm{rad/kg} conforme calculei),
  • L=1{,}00\\ \mathrm{m} (dado),
  • D=10{,}0\\ \mathrm{mm}=0{,}0100\\ \mathrm{m}.
Calcule D^{4}:
D^{4}=(0{,}0100)^{4}=1{,}0\times 10^{-8}\\ \mathrm{m}^{4}.
Calcule o numerador:
32\cdot k\cdot L = 32\cdot 0{,}7228836420\cdot 1{,}00 = 23{,}1322773446.
Então
\begin{aligned} G &= \frac{23{,}1322773446}{\pi\cdot 1{,}0\times10^{-8}} \\\ &= \frac{23{,}1322773446}{3{,}1415926536\times 10^{-8}} \\\ &\approx 7{,}366\times10^{8}\\ \mathrm{Pa}. \end{aligned}
Em unidades mais usuais:
G\approx 7{,}37\times10^{8}\\ \mathrm{Pa}=0{,}737\\ \mathrm{GPa}.

Passo 7

Comparação com o valor esperado e discussão de erros (didática e prática).
  • Valor típico do aço: G_{\text{teórico}}\approx 80\\ \mathrm{GPa}ó.
  • Valor experimental obtido: G_{\text{exp}}\approx 0{,}737\\ \mathrm{GPa}.
  • Razão:
\frac{G_{\text{exp}}}{G_{\text{teórico}}}\approx\frac{0{,}737}{80}\approx 0{,}0092\\ (\text{cerca de }0{,}9\%).ó
Ou seja, o valor obtido está muito abaixo do valor esperado (diferença de cerca de duas ordens de grandeza).
Possíveis fontes de erro (explico cada uma para você entender o que pode ter dado errado e como consertar):
  1. Unidade/definição de k: pode haver confusão entre a constante de ajuste k da relação \theta=k\cdot m (rad por quilograma) e a constante de torção \kappa que aparece na teoria ( \tau=\kappa\theta, com \kappa em \mathrm{N\cdot m/rad}). A fórmula teórica correta para um cilindro sólido é \kappa=\dfrac{\pi G D^{4}}{32L}. Se no experimento o torque aplicado por uma massa m depende de mg e de um braço r, então \tau=m g r e isso introduz fatores g e r. Se a fórmula do enunciado usou k com significado diferente (por exemplo k=\kappa e não o coeficiente \theta/m), o uso direto deste k sem converter unidades leva a erro grande. Conclusão: verifique qual exatamente é o k exigido na fórmula de G (se é o mesmo que obtivemos por \theta=k m ou se precisa de conversão usando g e o braço r).
  2. Conversão graus → radianos: se alguém usar graus no lugar de radianos na fórmula de G (ou em \kappa), o resultado fica errado. Eu converti corretamente, mas este é um erro comum.
  3. Braço de alavanca/montagem não informado: o torque produzido por uma massa depende do braço r (distância ao eixo). Se o enunciado omite r e a fórmula fornecida ignora isso, há inconsistência. Talvez o enunciado implicitamente já incorporasse g e r na definição de k; dependendo disso o uso direto altera o resultado.
  4. Medições e precisão: diâmetro D aparece com a quarta potência ( D^{4}), então pequeno erro na medida de D gera grande erro em G. Por exemplo, um erro de 1% em D dá ~4% em D^{4}.
  5. Atrito/frouxidão na montagem: perdas por atrito ou junta não ideal reduzem o ângulo medido para dado torque, alterando o ajuste.
  6. Pequeno número de pontos e ruído: só cinco pontos; ruído experimental e leitura grosseira do ângulo (apenas 1 decimal em graus) aumentam incerteza.
  7. Suposição de linearidade até ângulos usados: para ângulos grandes pode haver leve não linearidade ou efeito plástico, mas aqui os ângulos são pequenos; ainda assim, é uma hipótese a verificar.
Sugestões práticas para melhorar experimento:
  • Verifique e anote o braço de alavanca r e use \tau=m g r para obter \kappa=\tau/\theta antes de usar a fórmula de G.
  • Meça D com paquímetro com boa precisão e repita várias vezes.
  • Aumente número de pontos e repita medidas para reduzir ruído.
  • Confirme unidades durante todo o processo (graus vs radianos, g vs kg).

Resposta

(a) Gráfico \theta\times m: pontos alinhados quase linearmente; plotar (m\\ \mathrm{(g)},\\ \theta\\ \mathrm{(°)}) ou (m\\ \mathrm{(kg)},\\ \theta\\ \mathrm{(rad)}) mostra reta passando praticamente pela origem.
(b) k=0{,}7229\\ \mathrm{rad/kg} (equivalente a aproximadamente 0{,}04142\\ \text{grau/g}).
(c) G\approx 7{,}37\times 10^{8}\\ \mathrm{Pa}=0{,}737\\ \mathrm{GPa}.
(d) O valor experimental é muito menor que 80\\ \mathrm{GPa}; fontes prováveis de erro: confusão entre a constante ajustada e a constante de torção física (falta de consideração de g e do braço de alavanca), uso de unidades erradas (graus vs rad), erro na medição de D (aparece em D^{4}), atrito/montagem, e ruído nas leituras.

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