a) Uma barra cilíndrica de aço com comprimento
e diâmetro
é submetida a torção. Os seguintes dados de massa
e ângulo de torção
(graus) foram obtidos:
50,0
100,0
150,0
200
250
2,0
4,1
6,3
8,2
10,4
Construa o gráfico de
.
b) Ajuste uma reta aos dados e determine a constante de torção
da barra, onde:
c) Sabendo que o módulo de cisalhamento
é dado por:
calcule
.
d) Compare o valor obtido com valores típicos para o aço (
) e discuta possíveis fontes de erro.
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50,0 | 100,0 | 150,0 | 200 | 250 |
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2,0 | 4,1 | 6,3 | 8,2 | 10,4 |
b) Ajuste uma reta aos dados e determine a constante de torção
d) Compare o valor obtido com valores típicos para o aço (
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas:
- (a) Construir o gráfico de
usando os dados experimentais. - (b) Ajustar uma reta aos dados e determinar a constante de torção
definida por . - (c) Calcular o módulo de cisalhamento
usando . - (d) Comparar o resultado com o valor típico para o aço (
) e discutir possíveis fontes de erro.
Dados fornecidos (peguei-os da tabela do enunciado):
Parâmetros geométricos (dados no enunciado):
Passo 2
Organizar os dados em unidades SI e justificar por quê.
Por que converter?
- Para usar fórmulas físicas e obter
em pascal precisamos de massas em quilograma ( ), comprimentos em metro ( ), e o ângulo em radianos ( ). O enunciado deu massa em gramas e ângulo em graus, por isso convertemos.
Conversões:
Calculei cada valor (usei
):
Explicação rápida sobre radianos: um radiano é a medida de ângulo onde o arco tem comprimento igual ao raio; para converter graus em radianos multiplicamos por
. Em física de torção usamos radianos porque as fórmulas lineares de torque versus ângulo assumem ângulo em radianos.]
Passo 3
Como construir o gráfico
(instrução passo a passo, pois você pediu jeito de fazer na prova):
- Eixo horizontal (abscissa): massa
. Pode usar em gramas se preferir desenhar com os dados originais; se quiser consistência com unidades SI (recomendado), use em quilogramas. - Eixo vertical (ordenada):
. Novamente pode plotar em graus (mais direto) ou em radianos (recomendado para cálculo). - Marque os pontos correspondentes: por exemplo
, etc. (estes números estão em ). - Ligue os pontos com um lápis: os pontos parecem alinhados (comportamento linear proporcional).
- Para ajustar a reta na prova sem calculadora, você pode traçar a reta que “melhor passa” pelos pontos (método gráfico) ou calcular o coeficiente angular por mínimos quadrados (método exato que faço a seguir).
Observação: no enunciado pediu apenas construir o gráfico; é importante indicar que os pontos formam uma reta que passa praticamente pela origem (proporcionalidade).
Passo 4
Decidir o método de ajuste e explicar por quê.
- O enunciado deu a forma
. Isso é uma relação linear sem termo independente (reta passando pela origem). Fica natural usar o ajuste linear forçado a passar pela origem. - Método escolhido: ajuste por mínimos quadrados com intercepto zero (método simples e matematicamente correto para relação proporcional). Fórmula do coeficiente angular
(quando intercepto = 0):
Explicação da fórmula (intuição): queremos minimizar a soma dos quadrados dos desvios
. Derivando em relação a
e anulando a derivada obtemos a fórmula acima.
Passo 5
Aplicar a fórmula do ajuste com os números (mostrando as contas passo a passo).
Primeiro calculei os produtos
e as massas ao quadrado
usando os valores em
e
:
Agora compute
:
Interpretação: isso significa que, no experimento, o ângulo cresce em média
rad por cada quilograma de massa adicionada (segundo o ajuste linear forçado pela origem).
Se quiser um número mais intuitivo em unidades originais da tabela: em graus por grama
o que bate com a observação rápida
(coisa parecida).
Passo 6
Usar a fórmula dada para
e calcular passo a passo.
A fórmula dada no enunciado é
Aqui:
-
é a constante obtida no ajuste (usei em conforme calculei), -
(dado), -
.
Calcule
:
Calcule o numerador:
Então
Em unidades mais usuais:
Passo 7
Comparação com o valor esperado e discussão de erros (didática e prática).
- Valor típico do aço:
. - Valor experimental obtido:
. - Razão:
Ou seja, o valor obtido está muito abaixo do valor esperado (diferença de cerca de duas ordens de grandeza).
Possíveis fontes de erro (explico cada uma para você entender o que pode ter dado errado e como consertar):
- Unidade/definição de
: pode haver confusão entre a constante de ajuste da relação (rad por quilograma) e a constante de torção que aparece na teoria ( , com em ). A fórmula teórica correta para um cilindro sólido é . Se no experimento o torque aplicado por uma massa depende de e de um braço , então e isso introduz fatores e . Se a fórmula do enunciado usou com significado diferente (por exemplo e não o coeficiente ), o uso direto deste sem converter unidades leva a erro grande. Conclusão: verifique qual exatamente é o exigido na fórmula de (se é o mesmo que obtivemos por ou se precisa de conversão usando e o braço ). - Conversão graus → radianos: se alguém usar graus no lugar de radianos na fórmula de
(ou em ), o resultado fica errado. Eu converti corretamente, mas este é um erro comum. - Braço de alavanca/montagem não informado: o torque produzido por uma massa depende do braço
(distância ao eixo). Se o enunciado omite e a fórmula fornecida ignora isso, há inconsistência. Talvez o enunciado implicitamente já incorporasse e na definição de ; dependendo disso o uso direto altera o resultado. - Medições e precisão: diâmetro
aparece com a quarta potência ( ), então pequeno erro na medida de gera grande erro em . Por exemplo, um erro de 1% em dá ~4% em . - Atrito/frouxidão na montagem: perdas por atrito ou junta não ideal reduzem o ângulo medido para dado torque, alterando o ajuste.
- Pequeno número de pontos e ruído: só cinco pontos; ruído experimental e leitura grosseira do ângulo (apenas 1 decimal em graus) aumentam incerteza.
- Suposição de linearidade até ângulos usados: para ângulos grandes pode haver leve não linearidade ou efeito plástico, mas aqui os ângulos são pequenos; ainda assim, é uma hipótese a verificar.
Sugestões práticas para melhorar experimento:
- Verifique e anote o braço de alavanca
e use para obter antes de usar a fórmula de . - Meça
com paquímetro com boa precisão e repita várias vezes. - Aumente número de pontos e repita medidas para reduzir ruído.
- Confirme unidades durante todo o processo (graus vs radianos, g vs kg).
Resposta
(a) Gráfico
: pontos alinhados quase linearmente; plotar
ou
mostra reta passando praticamente pela origem.
(b) (equivalente a aproximadamente
).
(c) .
(d) O valor experimental é muito menor que ; fontes prováveis de erro: confusão entre a constante ajustada e a constante de torção física (falta de consideração de
e do braço de alavanca), uso de unidades erradas (graus vs rad), erro na medição de
(aparece em
), atrito/montagem, e ruído nas leituras.
(b)
(c)
(d) O valor experimental é muito menor que