A separação de equilíbrio dos íons \mathrm{K}^{+}e \mathrm{Cl}^{-}no KCl é cerca de 0,267 \mathrm{~nm}. Use este valor junto com a massa reduzida para calcular a energia rotacional característica E_{0 r} do KCl .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a energia rotacional característica de KCl usando a separação de equilíbrio dos íons \mathrm{K}^+ e \mathrm{Cl}^- e a massa reduzida. Dados fornecidos e o que precisamos:
  • Separação (distância internuclear) r = 0,267\\ \mathrm{nm} (valor fornecido no enunciado).
  • Precisamos usar a massa reduzida \mu do par K–Cl (que será calculada a partir das massas das partículas).
  • A quantidade pedida é a energia rotacional característica E_{0r} do KCl.

Passo 2

Calcular a massa reduzida \mu. Explicação do conceito: a massa reduzida de duas partículas de massas m_1 e m_2 é
\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}.
Isto é útil porque, para o movimento rotacional (ou vibracional) de um diatômico, o par pode ser tratado como uma partícula efetiva de massa \mu localizada à distância r do centro de massa.
Agora vamos obter as massas das espécies. Podemos usar as massas atômicas aproximadas (unidades atômicas):
  • massa de K: m_{\mathrm{K}} = 39{,}0983\\ \mathrm{u},
  • massa de Cl: m_{\mathrm{Cl}} = 35{,}453\\ \mathrm{u}.
Converter unidades atômicas para quilograma usando 1\\ \mathrm{u} = 1{,}66053906660\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}.
Cálculo das massas em kg:
m_{\mathrm{K}} = 39{,}0983 \times 1{,}66053906660\times10^{-27}\\ \mathrm{kg} \approx 6{,}492\times10^{-26}\\ \mathrm{kg},
m_{\mathrm{Cl}} = 35{,}453 \times 1{,}66053906660\times10^{-27}\\ \mathrm{kg} \approx 5{,}887\times10^{-26}\\ \mathrm{kg}.
Agora a massa reduzida:
\mu = \frac{(6{,}492\times10^{-26})(5{,}887\times10^{-26})}{6{,}492\times10^{-26}+5{,}887\times10^{-26}}
Faço a conta (mostrando a ideia passo a passo):
  • Produto no numerador \approx 3{,}822\times10^{-51}\\ \mathrm{kg}^2.
  • Soma no denominador \approx 1{,}238\times10^{-25}\\ \mathrm{kg}.
    Portanto
\mu \approx \frac{3{,}822\times10^{-51}}{1{,}238\times10^{-25}}\\ \mathrm{kg} \approx 3{,}09\times10^{-26}\\ \mathrm{kg}.

Passo 3

Calcular o momento de inércia I do par K–Cl. Explicação: para um diatômico rígido com massa reduzida \mu e distância internuclear r, o momento de inércia em relação ao centro de massa é
I = \mu r^2.
Aqui I tem unidades de \mathrm{kg\cdot m^2}, \mu em \mathrm{kg} e r em \mathrm{m}.
Converter a distância r para metros:
r = 0{,}267\\ \mathrm{nm} = 0{,}267\times10^{-9}\\ \mathrm{m} = 2{,}67\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.
Calcular r^2:
r^2 = (2{,}67\times10^{-10})^2\\ \mathrm{m^2} \approx 7{,}129\times10^{-20}\\ \mathrm{m^2}.
Agora o momento de inércia:
I = \mu r^2 \approx (3{,}09\times10^{-26})(7{,}129\times10^{-20})\\ \mathrm{kg\cdot m^2}
I \approx 2{,}20\times10^{-45}\\ \mathrm{kg\cdot m^2}.

Passo 4

Escrever a expressão da energia rotacional característica E_{0r} e explicar origem. Para um rotor rígido (modelo de molécula diatômica), os níveis rotacionais são
E_J = \frac{\hbar^2}{2I}\,J(J+1),
onde J é o número quântico rotacional ( J=0,1,2,\ldots), I é o momento de inércia e \hbar é a constante de Planck reduzida ( \hbar = \dfrac{h}{2\pi}). A energia rotacional característica costuma ser tomada como a constante que multiplica J(J+1), ou seja
E_{0r} \equiv \frac{\hbar^2}{2I}.
Explicando as variáveis:
  • \hbar é a constante de Planck reduzida, \hbar \approx 1{,}054571817\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}.
  • I já calculado no passo anterior.

Passo 5

Calcular numericamente E_{0r}.
Primeiro \hbar^2:
\hbar^2 \approx (1{,}054571817\times10^{-34})^2\\ \mathrm{J^2\cdot s^2} \approx 1{,}112\times10^{-68}\\ \mathrm{J^2\cdot s^2}.
Do passo anterior I \approx 2{,}20\times10^{-45}\\ \mathrm{kg\cdot m^2}. Então
2I \approx 4{,}40\times10^{-45}\\ \mathrm{kg\cdot m^2}.
Agora
E_{0r} = \frac{\hbar^2}{2I} \approx \frac{1{,}112\times10^{-68}}{4{,}40\times10^{-45}}\\ \mathrm{J} \approx 2{,}53\times10^{-24}\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Converter E_{0r} para unidades mais usuais (eletrón-volts e número de onda):
  1. Para elétron-volt: usar 1\\ \mathrm{eV} = 1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
E_{0r} \approx \frac{2{,}53\times10^{-24}}{1{,}602176634\times10^{-19}}\\ \mathrm{eV} \approx 1{,}58\times10^{-5}\\ \mathrm{eV}.
  1. Em número de onda (cm ^{-1}): \tilde{\nu} = \dfrac{E}{hc} em unidades de \mathrm{m^{-1}}, e para \mathrm{cm^{-1}} divide-se por 100. Usar hc = 1{,}98644586\times10^{-25}\\ \mathrm{J\cdot m}.
\tilde{\nu} \;(\mathrm{cm^{-1}}) \approx \frac{2{,}53\times10^{-24}}{1{,}98644586\times10^{-25}}\times\frac{1}{100} \approx 0{,}127\\ \mathrm{cm^{-1}}.

Passo 7

Interpretação rápida (para te dar contexto e confiança): o valor obtido é muito pequeno comparado à energia térmica à temperatura ambiente ( k_B T\sim 4{,}1\times10^{-21}\\ \mathrm{J} a T\approx300\\ \mathrm{K}), o que significa que muitos níveis rotacionais estarão populados termicamente. Isso é normal para moléculas pesadas como KCl. Força! Você já tem a resposta numérica e entendeu cada passo.

Resposta

E_{0r} \approx 2{,}53\times10^{-24}\\ \mathrm{J}
E_{0r} \approx 1{,}58\times10^{-5}\\ \mathrm{eV}
E_{0r} \approx 0{,}127\\ \mathrm{cm^{-1}}

Exercícios relacionados