A frequência central para a banda de absorção do HCl está em 8,66 \times 10^{13} \mathrm{~Hz}, e os picos de absorção de ambos os lados da frequência central estão separados por cerca de 6 \times 10^{11} \mathrm{~Hz}. Use esta informação para encontrar (a) a energia vibracional mais baixa (ponto zero) para o HCl , (b) o momento de inércia do HCl e (c) a separação de equilíbrio entre os dois átomos. (d) Calcule a constante efetiva de força para o HCl a partir de sua massa reduzida e da frequência central.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as quantidades listadas abaixo.
Dado:
  • A frequência central da banda de absorção do HCl é \;8,66\times10^{13}\\ \mathrm{Hz}.
  • Os picos de absorção situados um de cada lado da frequência central estão separados entre si por cerca de \;6\times10^{11}\\ \mathrm{Hz}.
O que é pedido:
(a) A energia vibracional mais baixa (energia de ponto zero) para o HCl.
(b) O momento de inércia do HCl.
(c) A separação de equilíbrio entre os dois átomos (distância interatômica).
(d) A constante efetiva de força k a partir da massa reduzida e da frequência central.
Observação: vou usar a informação espectral sobre as linhas rotacionais próximas ao pico vibracional para obter o constante rotacional e daí o momento de inércia; e vou usar o modelo do oscilador harmônico para energia de ponto zero e para achar k.

Passo 2

Energia de ponto zero do oscilador harmônico — teoria e fórmula.
Explicação didática curta: num oscilador harmônico quântico a energia dos níveis vibracionais é
E_v = h\nu\left(v+\tfrac{1}{2}\right),
onde h é a constante de Planck e \nu a frequência vibracional (em Hz). O menor valor (ponto zero) corresponde a v=0, logo
E_0 = \tfrac{1}{2}h\nu.
Aqui \nu é a frequência central dada \;8,66\times10^{13}\\ \mathrm{Hz}. Vou calcular E_0 em joules e também converter para eV e kJ/mol para intuição prática.
Cálculo:
E_0=\tfrac{1}{2}h\nu=\tfrac{1}{2}\,(6,62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s})\,(8,66\times10^{13}\\ \mathrm{Hz}).
h\nu=6,62607015\times10^{-34}\times8,66\times10^{13}=5,74\times10^{-20}\\ \mathrm{J}
E_0=\tfrac{1}{2}\times5,74\times10^{-20}=2,87\times10^{-20}\\ \mathrm{J}.
Conversões úteis:
  • Para electronvolts: 1\\ \mathrm{eV}=1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}, então
E_0\approx\frac{2,87\times10^{-20}}{1,6022\times10^{-19}}=0,179\\ \mathrm{eV}.
  • Para kJ/mol: multiplicar por N_A=6,02214076\times10^{23}:
E_0\approx2,87\times10^{-20}\times6,022\times10^{23}=1,73\times10^{4}\\ \mathrm{J/mol}=17,3\\ \mathrm{kJ/mol}.

Passo 3

Interpretação do espaçamento rotacional e obtenção da constante rotacional B.
Explicação didática curta: as linhas rotacionais que aparecem ao redor da frequência vibracional correspondem a transições com \Delta J=+1 (ramo R) e \Delta J=-1 (ramo P). Aproximando os constantes rotacionais do estado fundamental e excitado por iguais, as primeiras linhas próximas ao centro estão deslocadas aproximadamente por \pm 2B em frequência a partir da linha vibracional pura \nu. Assim, a separação entre o pico do ramo R logo acima e o pico do ramo P logo abaixo da linha central é aproximadamente
\Delta\nu_{\text{P--R}}\approx 4B.
O enunciado diz que esses dois picos estão separados por \;6\times10^{11}\\ \mathrm{Hz}, então assumiremos
4B=6\times10^{11}\\ \mathrm{Hz}\quad\Rightarrow\quad B=\frac{6\times10^{11}}{4}=1,50\times10^{11}\\ \mathrm{Hz}.

Passo 4

Relação entre a constante rotacional B e o momento de inércia I; cálculo de I.
Teoria e fórmula: os níveis rotacionais (energia dividida por h, em Hz) escrevem-se como B\,J(J+1) com
B=\frac{h}{8\pi^{2}I}
quando B está em unidades de Hz e I em \mathrm{kg\,m^{2}}. Essa fórmula vem de E_J=\dfrac{\hbar^{2}}{2I}J(J+1) e da relação h=2\pi\hbar.
Isolando I:
I=\frac{h}{8\pi^{2}B}.
Cálculo numérico com B=1,50\times10^{11}\\ \mathrm{Hz}:
I=\frac{6,62607015\times10^{-34}}{8\pi^{2}\times1,50\times10^{11}}.
Avaliação:
8\pi^{2}\approx78,9568,
8\pi^{2}B\approx78,9568\times1,50\times10^{11}=1,18435\times10^{13},
I=\frac{6,62607015\times10^{-34}}{1,18435\times10^{13}}=5,60\times10^{-47}\\ \mathrm{kg\,m^{2}}.

Passo 5

Cálculo da massa reduzida \mu do HCl — explicação e cálculo numérico.
Teoria: para dois átomos com massas m_1 e m_2 a massa reduzida é
\mu=\frac{m_1 m_2}{m_1+m_2}.
Vou usar massas atômicas aproximadas (em unidades SI): massa do hidrogénio m_{\mathrm{H}}\approx1,007825\\ \mathrm{u} e massa do cloro (abundância média) m_{\mathrm{Cl}}\approx35,453\\ \mathrm{u}. Conversão 1\\ \mathrm{u}=1,660539\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}.
Cálculo:
m_{\mathrm{H}}=1,007825\times1,660539\times10^{-27}=1,6735\times10^{-27}\\ \mathrm{kg},
m_{\mathrm{Cl}}=35,453\times1,660539\times10^{-27}=5,8871\times10^{-26}\\ \mathrm{kg},
\mu=\frac{1,6735\times10^{-27}\times5,8871\times10^{-26}}{1,6735\times10^{-27}+5,8871\times10^{-26}}=1,63\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}.
(Valor calculado: \mu\approx1,627\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}.)

Passo 6

Cálculo da separação de equilíbrio r_e a partir de I e \mu.
Teoria: o momento de inércia de um diatômico rígido é I=\mu r_e^{2}, logo
r_e=\sqrt{\frac{I}{\mu}}.
Cálculo numérico usando I=5,60\times10^{-47}\\ \mathrm{kg\,m^{2}} e \mu=1,627\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}:
\frac{I}{\mu}=\frac{5,60\times10^{-47}}{1,627\times10^{-27}}=3,44\times10^{-20}\\ \mathrm{m^{2}},
r_e=\sqrt{3,44\times10^{-20}}=1,86\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.
Em unidades mais usuais: r_e\approx1,86\\ \text{\AA} (onde 1\\ \text{\AA}=10^{-10}\\ \mathrm{m}).
Comentário: esse valor é da ordem de grandeza esperada para uma ligação simples H–Cl (algumas fontes experimentais dão cerca de 1,27\\ \text{\AA}; a diferença vem de aproximações e do valor aproximado fornecido para a separação das linhas rotacionais no enunciado).

Passo 7

Cálculo da constante efetiva de força k usando \mu e a frequência vibracional.
Teoria: para um oscilador harmônico clássico/quântico a relação entre a constante de força k, massa reduzida \mu e a frequência angular \omega é
\omega=2\pi\nu,\qquad k=\mu\omega^{2}.
Aqui \nu é a frequência vibracional dada \;8,66\times10^{13}\\ \mathrm{Hz}.
Cálculo:
\omega=2\pi(8,66\times10^{13})=5,44\times10^{14}\\ \mathrm{rad/s},
k=\mu\omega^{2}=1,627\times10^{-27}\times(5,44\times10^{14})^{2}.
Avaliação:
\omega^{2}\approx2,96\times10^{29},
k\approx1,627\times10^{-27}\times2,96\times10^{29}=4,82\times10^{2}\\ \mathrm{N/m}.

Passo 8

Resumo rápido e encorajamento final: fizemos (a) energia de ponto zero pelo oscilador harmônico, (b) deduzimos a constante rotacional a partir do deslocamento rotacional aproximado e, com B, obtivemos o momento de inércia, (c) com I e \mu encontramos a distância de equilíbrio, e (d) com \mu e \nu achamos a constante de força. Está tudo com contas mostradas passo a passo — se quiser, eu repito com outras aproximações (por exemplo usando a massa de um isótopo específico do cloro) para ver como mudam os números.

Resposta

(a) E_0=\tfrac{1}{2}h\nu=2,87\times10^{-20}\\ \mathrm{J}=0,179\\ \mathrm{eV}=17,3\\ \mathrm{kJ/mol}
(b) I=\dfrac{h}{8\pi^{2}B}=5,60\times10^{-47}\\ \mathrm{kg\,m^{2}} (usando B=\dfrac{6\times10^{11}}{4}=1,50\times10^{11}\\ \mathrm{Hz})
(c) r_e=\sqrt{\dfrac{I}{\mu}}=1,86\times10^{-10}\\ \mathrm{m} (≈ 1,86\\ \text{\AA})
(d) k=\mu(2\pi\nu)^{2}=4,82\times10^{2}\\ \mathrm{N/m}

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