A frequência central para a banda de absorção do HCl está em
, e os picos de absorção de ambos os lados da frequência central estão separados por cerca de
. Use esta informação para encontrar (a) a energia vibracional mais baixa (ponto zero) para o HCl , (b) o momento de inércia do HCl e (c) a separação de equilíbrio entre os dois átomos. (d) Calcule a constante efetiva de força para o HCl a partir de sua massa reduzida e da frequência central.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as quantidades listadas abaixo.
Dado:
- A frequência central da banda de absorção do HCl é
. - Os picos de absorção situados um de cada lado da frequência central estão separados entre si por cerca de
.
O que é pedido:
(a) A energia vibracional mais baixa (energia de ponto zero) para o HCl.
(b) O momento de inércia do HCl.
(c) A separação de equilíbrio entre os dois átomos (distância interatômica).
(d) A constante efetiva de força a partir da massa reduzida e da frequência central.
(a) A energia vibracional mais baixa (energia de ponto zero) para o HCl.
(b) O momento de inércia do HCl.
(c) A separação de equilíbrio entre os dois átomos (distância interatômica).
(d) A constante efetiva de força
Observação: vou usar a informação espectral sobre as linhas rotacionais próximas ao pico vibracional para obter o constante rotacional e daí o momento de inércia; e vou usar o modelo do oscilador harmônico para energia de ponto zero e para achar
.
Passo 2
Energia de ponto zero do oscilador harmônico — teoria e fórmula.
Explicação didática curta: num oscilador harmônico quântico a energia dos níveis vibracionais é
onde
é a constante de Planck e
a frequência vibracional (em Hz). O menor valor (ponto zero) corresponde a
, logo
Aqui
é a frequência central dada
. Vou calcular
em joules e também converter para eV e kJ/mol para intuição prática.
Cálculo:
Conversões úteis:
- Para electronvolts:
, então
- Para kJ/mol: multiplicar por
:
Passo 3
Interpretação do espaçamento rotacional e obtenção da constante rotacional
.
Explicação didática curta: as linhas rotacionais que aparecem ao redor da frequência vibracional correspondem a transições com
(ramo R) e
(ramo P). Aproximando os constantes rotacionais do estado fundamental e excitado por iguais, as primeiras linhas próximas ao centro estão deslocadas aproximadamente por
em frequência a partir da linha vibracional pura
. Assim, a separação entre o pico do ramo R logo acima e o pico do ramo P logo abaixo da linha central é aproximadamente
O enunciado diz que esses dois picos estão separados por
, então assumiremos
Passo 4
Relação entre a constante rotacional
e o momento de inércia
; cálculo de
.
Teoria e fórmula: os níveis rotacionais (energia dividida por
, em Hz) escrevem-se como
com
quando
está em unidades de Hz e
em
. Essa fórmula vem de
e da relação
.
Isolando
:
Cálculo numérico com
:
Avaliação:
Passo 5
Cálculo da massa reduzida
do HCl — explicação e cálculo numérico.
Teoria: para dois átomos com massas
e
a massa reduzida é
Vou usar massas atômicas aproximadas (em unidades SI): massa do hidrogénio
e massa do cloro (abundância média)
. Conversão
.
Cálculo:
(Valor calculado:
.)
Passo 6
Cálculo da separação de equilíbrio
a partir de
e
.
Teoria: o momento de inércia de um diatômico rígido é
, logo
Cálculo numérico usando
e
:
Em unidades mais usuais:
(onde
).
Comentário: esse valor é da ordem de grandeza esperada para uma ligação simples H–Cl (algumas fontes experimentais dão cerca de
; a diferença vem de aproximações e do valor aproximado fornecido para a separação das linhas rotacionais no enunciado).
Passo 7
Cálculo da constante efetiva de força
usando
e a frequência vibracional.
Teoria: para um oscilador harmônico clássico/quântico a relação entre a constante de força
, massa reduzida
e a frequência angular
é
Aqui
é a frequência vibracional dada
.
Cálculo:
Avaliação:
Passo 8
Resumo rápido e encorajamento final: fizemos (a) energia de ponto zero pelo oscilador harmônico, (b) deduzimos a constante rotacional a partir do deslocamento rotacional aproximado e, com
, obtivemos o momento de inércia, (c) com
e
encontramos a distância de equilíbrio, e (d) com
e
achamos a constante de força. Está tudo com contas mostradas passo a passo — se quiser, eu repito com outras aproximações (por exemplo usando a massa de um isótopo específico do cloro) para ver como mudam os números.
Resposta
(a)
(b) (usando
)
(c) (≈
)
(d)
(b)
(c)
(d)