Uma barra cilíndrica de alumínio, com 2 cm de diâmetro, está inicialmente a 50^circ C e é colocada em uma corrente de ar que está a 250^circ C, em escoamento cruzado. A corrente de ar está circulando com uma velocidade de 10 m / s.
(a) Determine a temperatura superficial da peça 100 segundos após o início do processo;
(b) Considerando água como o fluido, qual será temperatura superficial da peça, nas mesmas condições do item anterior?

Passo 1

Beleza, a questão é de transferência de calor por convecção transiente num cilindro de alumínio (barra cilíndrica de diâmetro 2 cm, massa específica ρ≈2700 kg/m³, calor específico c≈900 J/kg·K, condutividade kₐₗ≈180 W/m·K).
Inicialmente a peça está a 50 °C e é exposta a um fluido (ar ou água) a 250 °C que flui perpendicularmente com velocidade 10 m/s.
O que vamos usar:
  1. Critério de Biot para saber se vale o método de capacitância (lumped capacitance).
  2. Correlação de Churchill–Bernstein para obter o coeficiente de convecção h.
  3. Equação transiente de um corpo com temperatura uniforme interna: T(t)=Tinfty+(Ti-Tinfty),exp!(-hArho cV,t)

Passo 2

Antes de tudo, calculamos o número de Biot:
– comprimento característico V/L=pi D^24, A/L=pi DLongrightarrow Lc=V/LA/L=D4=0,024=0,005 m. Para um cilindro “muito longo” considera-se por unidade de comprimento:
Bi=h,LckAl,
– Biot:
Só que ainda não temos , mas supondo que fique na faixa de algumas dezenas de W/m²K (ar), o Biot será bem menor que 0,1 e o modelo de lumped capacitance vale.

Passo 3

Vamos achar Nu=0,3+0,62,Re^1/2Pr^1/3[1+(0,4/Pr)^2/3]^1/4[1+(Re/282000)^5/8]^4/5approx39,2 para o ar usando Churchill–Bernstein.
  1. Propriedades do ar a , , .
  2. Churchill–Bernstein:
    4)

Passo 4

Confirmando Biot (ar):
Bi=60times0,005180approx0,0017ll0,1,
logo o método de capacitância vale.
A constante do decaimento térmico é
$$\frac{hA}{\rho cV}=\frac{h}{\rho c},\frac{A/V}{1}=\frac{h}{\rho c},\frac{4}{D}
=\frac{4\times60}{2700\times900\times0{,}02}\approx4{,}94\times10{-3},\mathrm{s{-1}}.$$

Passo 5

Agora plugamos na equação transiente para T(100)=250+(50-250)exp(-4,94times10^-3times100):
exp(-0,494)approx0,61Longrightarrow T(100)=250-200times0,61approx250-122=128 ^circC
$$\exp(-0{,}494)\approx0{,}61\quad\Longrightarrow\quad
T(100)=250-200\times0{,}61\approx250-122=128\ ^\circ\mathrm{C}.$$

Passo 6

(b) Para água é o mesmo procedimento, mas com propriedades da água a :
, , .
  1. .
  2. Churchill–Bernstein → .
  3. .
    – Como não é ≪0,1, o lumped capacitance quebra.
    – Mas se, por simplicidade, ainda usássemos a mesma fórmula, a constante de decaimento seria enorme ( ), de modo que após 100 s teríamos praticamente .

Resposta

(a) A temperatura da superfície após 100 s, no ar, é cerca de 128 °C.
(b) No caso da água, o coeficiente de convecção é tão alto que a peça praticamente atinge 250 °C em 100 s (e, rigorosamente, o lumped capacitance não vale mais, exigindo solução mais completa de condução transiente).

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