Uma barra cilíndrica de alumínio, com 2 cm de diâmetro, está inicialmente a
e é colocada em uma corrente de ar que está a
, em escoamento cruzado. A corrente de ar está circulando com uma velocidade de
.
(a) Determine a temperatura superficial da peça 100 segundos após o início do processo;
(b) Considerando água como o fluido, qual será temperatura superficial da peça, nas mesmas condições do item anterior?
(a) Determine a temperatura superficial da peça 100 segundos após o início do processo;
(b) Considerando água como o fluido, qual será temperatura superficial da peça, nas mesmas condições do item anterior?
Passo 1
Beleza, a questão é de transferência de calor por convecção transiente num cilindro de alumínio (barra cilíndrica de diâmetro 2 cm, massa específica ρ≈2700 kg/m³, calor específico c≈900 J/kg·K, condutividade kₐₗ≈180 W/m·K).
Inicialmente a peça está a 50 °C e é exposta a um fluido (ar ou água) a 250 °C que flui perpendicularmente com velocidade 10 m/s.
O que vamos usar:
Inicialmente a peça está a 50 °C e é exposta a um fluido (ar ou água) a 250 °C que flui perpendicularmente com velocidade 10 m/s.
O que vamos usar:
- Critério de Biot para saber se vale o método de capacitância (lumped capacitance).
- Correlação de Churchill–Bernstein para obter o coeficiente de convecção h.
- Equação transiente de um corpo com temperatura uniforme interna:
Passo 2
Antes de tudo, calculamos o número de Biot:
– comprimento característico . Para um cilindro “muito longo” considera-se por unidade de comprimento:
– comprimento característico
– Biot:
Só que ainda não temos
, mas supondo que
fique na faixa de algumas dezenas de W/m²K (ar), o Biot será bem menor que 0,1 e o modelo de lumped capacitance vale.
Passo 3
Vamos achar
para o ar usando Churchill–Bernstein.
- Propriedades do ar a
→ , , . -
- Churchill–Bernstein:
4)
Passo 4
Confirmando Biot (ar):
logo o método de capacitância vale.
A constante do decaimento térmico é
$$\frac{hA}{\rho cV}=\frac{h}{\rho c},\frac{A/V}{1}=\frac{h}{\rho c},\frac{4}{D}
=\frac{4\times60}{2700\times900\times0{,}02}\approx4{,}94\times10{-3},\mathrm{s{-1}}.$$
Passo 5
Agora plugamos na equação transiente para
:
$$\exp(-0{,}494)\approx0{,}61\quad\Longrightarrow\quad
T(100)=250-200\times0{,}61\approx250-122=128\ ^\circ\mathrm{C}.$$
Passo 6
(b) Para água é o mesmo procedimento, mas com propriedades da água a
:
,
,
.
-
. - Churchill–Bernstein →
. -
-
.
– Comonão é ≪0,1, o lumped capacitance quebra.
– Mas se, por simplicidade, ainda usássemos a mesma fórmula, a constante de decaimento seria enorme (), de modo que após 100 s teríamos praticamente .
Resposta
(a) A temperatura da superfície após 100 s, no ar, é cerca de 128 °C.
(b) No caso da água, o coeficiente de convecção é tão alto que a peça praticamente atinge 250 °C em 100 s (e, rigorosamente, o lumped capacitance não vale mais, exigindo solução mais completa de condução transiente).
(b) No caso da água, o coeficiente de convecção é tão alto que a peça praticamente atinge 250 °C em 100 s (e, rigorosamente, o lumped capacitance não vale mais, exigindo solução mais completa de condução transiente).