Calcule o tempo necessário para que a superfície de uma barra de aço inoxidável 304 de 2 cm de espessura alcance 350^circ C, considerando que ela está inicialmente a 30^circ C. A barra está colocada dentro de um forno onde a corrente de ar está a 700^circ C e circula com uma velocidade média de 5 m / s. Considere que o escoamento de ar se dá na direção principal do cilindro (1 m de comprimento).

Passo 1

O exercício pede para calcular quanto tempo leva até que a superfície de uma barra cilíndrica de aço inox 304 (diâmetro 2 cm, comprimento 1 m), inicialmente a 30 °C, atinja 350 °C quando colocada num forno com ar em movimento a 700 °C e velocidade de 5 m/s.
Matéria envolvida: transmissão de calor por convecção e aplicação do “método de capacitância concentrada” (quando o Biot number é pequeno). Vamos precisar de:
  1. Propriedades do aço inox 304 (ρ, c, k).
  2. Coeficiente de convecção h para escoamento de ar sobre um cilindro.
  3. Testar o nº de Biot (Bi) para ver se podemos usar o modelo lumped.
  4. Equação do modelo lumped para achar o tempo.

Passo 2

  1. Propriedades típicas do aço inox 304:
    ρ=8000 kg/m³, c=500 J/(kg·K), k=16 W/(m·K).
  2. Geometria do cilindro:
    Diâmetro D=0,02 m → área de superfície A = π·D·L = π·0,02·1 ≃0,0628 m²
    Volume V = π·D²/4·L = π·(0,02)²/4·1 ≃3,14×10⁻⁴ m³
  3. Cálculo de h (correlação de Churchill–Bernstein para cilindro em escoamento cruzado):
    – Número de Reynolds Re = v·D/ν ≃5·0,02/1,5×10⁻⁵ ≃6,7×10³
    – Prandtl do ar: Pr≃0,7
    – Nusselt: Nu = 0,3 ;+;0,62,Re^1/2,Pr^1/3l[1+(0,4/Pr)^2/3r]^1/4;l[1+(Re/2,82×10^5)^5/8r]^4/5 Substituindo dá Nu≃43 → h = Nu·k_air/D ≃43·0,026/0,02 ≃56 W/(m²K).
  4. Biot number: Bi = h·Lckcom Lc=VA=D4=0,005;m Bi = 56·0,005/16 ≃0,0175 < 0,1 → podemos usar o método lumped.

Passo 3

Equação do modelo lumped (temperatura uniforme em t):
T(t) = Tinfty + l(Ti - Tinftyr),exp!l(-tfrach,Arho,V,c,tr)
T(t)-TinftyTi - Tinfty = exp!l(-tfrach,Arho,V,c,tr) Longrightarrow t = -rho,V,ch,A, ln!l(350-70030-700r) °C, °C e queremos °C.
– Montamos:

Passo 4

Calculando os termos:
– ρ V c = 8000·3,14×10⁻⁴·500 ≃1256,8 J/K
– h A = 56·0,0628 ≃3,517 W/K
– Fração dentro do ln: (350–700)/(30–700)=(-350)/(-670)≃0,5224
– ln(0,5224)≃−0,650
Logo
t = -1256,83,517;(-0,650) simeq 1256,8;times;0,6503,517 simeq 232;s

Resposta

O tempo necessário é cerca de 2,3×10² s, ou seja, aproximadamente 3,9 minutos.

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