Uma barra cilíndrica condutora muito longa de raio R_{1} \mathrm{e} comprimento L está carregada com carga Q_{1}=+q. Ela é envolta por uma casca cilíndrica, de raio R_{2} e de mesmo comprimento L. A casca cilíndrica está carregada com uma carga Q_{2}=-3 q. Use a lei de Gauss para determinar: (Lembre-se para determinar completamente um vetor é necessário indicar o módulo, a direção o e o sentido do mesmo)
o vetor campo elétrico a uma distância radial r<R_{1};

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa específica:
  • Temos uma barra cilíndrica condutora, muito longa, de raio R_{1} e comprimento L, com carga total Q_{1}=+q.
  • Essa barra é envolta por uma casca cilíndrica concêntrica de raio R_{2} e mesmo comprimento L, com carga total Q_{2}=-3q.
  • A pergunta é: determinar o vetor campo elétrico a uma distância radial \;r<R_{1}\; (ou seja, dentro do raio do cilindro condutor).
Informações relevantes listadas:
  • Raio interno do condutor: R_{1}.
  • Região de interesse: qualquer ponto com r<R_{1}.
  • Cargas totais dadas: Q_{1}=+q (no condutor) e Q_{2}=-3q (na casca externa).
  • Comprimento L é dado para permitir usar uma superfície gaussiana cilíndrica de altura L.

Passo 2

Conceito físico importante (explicado passo a passo, sem pular etapas):
  • Em regime eletrostático, um condutor em equilíbrio não possui campo elétrico no seu interior. Vou justificar isso com argumentos simples: se existisse \vec{E}\neq\vec{0} dentro do material condutor, as cargas móveis do condutor se moveriam sob ação desse campo até que o campo interno fosse anulado. Logo, no equilíbrio, \vec{E} dentro do condutor deve ser nulo.
  • Outra forma, compatível com o pedido de usar a Lei de Gauss, é mostrar que a carga total efetivamente presente dentro de qualquer superfície fechada que fique inteiramente no interior do metal é zero (as cargas de excesso repousam na superfície externa do condutor). Ambas as ideias são consistentes: sem carga no volume interno e sem campo no interior do condutor.

Passo 3

Escolha da superfície gaussiana (explicando o porquê):
  • Por simetria (cilíndrica, coaxial), escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial de raio \;r\;<R_{1}\; e altura L.
  • Essa superfície tem área lateral igual a \;A_{\text{lat}}=2\pi r L\;. As tampas (faces circulares) têm normais paralelas ao eixo e, por simetria, o campo (se existisse) seria radial; portanto só a área lateral contribui para o fluxo.
  • Esta escolha simplifica a aplicação da Lei de Gauss porque, por simetria, \vec{E} teria magnitude constante na superfície lateral e direção radial.

Passo 4

Determinar a carga envolvida pela superfície gaussiana:
  • Precisamos do carregamento efetivo dentro do cilindro de raio \;r<R_{1}.
  • Num condutor em equilíbrio eletrostático, toda a carga excessiva reside na superfície externa do condutor (isto é, na superfície r=R_{1}). Portanto, não há carga volumétrica no interior do metal nem no eixo; a carga Q_{1}=+q fica situada na superfície r=R_{1}.
  • Como a nossa superfície gaussiana está totalmente dentro do material condutor, ela não envolve nenhuma carga livre. Assim o carregamento envolvido é
Q_{\text{enc}}=0.

Passo 5

Aplicar a Lei de Gauss com as quantidades explicitadas:
  • A Lei de Gauss diz:
\oint_{S}\vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_{0}}.
  • Para a superfície cilíndrica escolhida, por simetria \vec{E} é radial (ou nulo) e tem mesma magnitude em toda a lateral; as tampas não contribuem porque \vec{E} (radial) é perpendicular ao vetor normal das tampas. Logo o fluxo é
\oint_{S}\vec{E}\cdot d\vec{A}=E(r)\cdot(2\pi r L).
  • Substituindo Q_{\text{enc}}=0 obtemos
E(r)\cdot(2\pi r L)=\frac{0}{\varepsilon_{0}}=0.
  • Portanto
E(r)=0\quad\text{para}\quad r<R_{1}.

Passo 6

Interpretar magnitude, direção e sentido do vetor campo elétrico:
  • Magnitude: E(r)=0.
  • Direção: para um vetor nulo a direção estritamente não está definida (qualquer direção multiplicada por zero dá o vetor nulo). Em notação prática e conveniente, podemos escrever o campo como \vec{E}(r)=0\cdot\hat{r}=\vec{0}, indicando que, se quisermos, o “componente radial” é nulo.
  • Sentido: idem à direção — não faz sentido falar em sentido de um vetor nulo; usualmente dizemos que não há sentido porque não há campo (ou escrevemos \vec{E}=\vec{0}).

Passo 7

Observação final útil para a prova (dicas práticas):
  • Não importa quanto a casca externa esteja carregada (aqui -3q), enquanto a superfície gaussiana estiver dentro do metal (ou dentro de um condutor sólido), a carga externa não contribui para Q_{\text{enc}} e, portanto, não afeta o campo interno: ele permanece nulo.
  • Em uma prova, ao ver “campo dentro de um condutor”, lembre-se imediatamente: campo elétrico interno é zero e você pode justificar isto com Gauss escolhendo uma superfície dentro do condutor.

Resposta

\vec{E}(r)=\vec{0} para \;r<R_{1}.\nMagnitude: E=0.\nDireção: indefinida (pode-se escrever 0\cdot\hat{r}).\nSentido: não aplicável (vetor nulo).

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