Uma barra cilíndrica condutora muito longa de raio
comprimento
está carregada com carga
. Ela é envolta por uma casca cilíndrica, de raio
e de mesmo comprimento
. A casca cilíndrica está carregada com uma carga
. Use a lei de Gauss para determinar: (Lembre-se para determinar completamente um vetor é necessário indicar o módulo, a direção o e o sentido do mesmo)
o vetor campo elétrico a uma distância radial
;
o vetor campo elétrico a uma distância radial
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa específica:
- Temos uma barra cilíndrica condutora, muito longa, de raio
e comprimento , com carga total . - Essa barra é envolta por uma casca cilíndrica concêntrica de raio
e mesmo comprimento , com carga total . - A pergunta é: determinar o vetor campo elétrico a uma distância radial
(ou seja, dentro do raio do cilindro condutor).
Informações relevantes listadas:
- Raio interno do condutor:
. - Região de interesse: qualquer ponto com
. - Cargas totais dadas:
(no condutor) e (na casca externa). - Comprimento
é dado para permitir usar uma superfície gaussiana cilíndrica de altura .
Passo 2
Conceito físico importante (explicado passo a passo, sem pular etapas):
- Em regime eletrostático, um condutor em equilíbrio não possui campo elétrico no seu interior. Vou justificar isso com argumentos simples: se existisse
dentro do material condutor, as cargas móveis do condutor se moveriam sob ação desse campo até que o campo interno fosse anulado. Logo, no equilíbrio, dentro do condutor deve ser nulo. - Outra forma, compatível com o pedido de usar a Lei de Gauss, é mostrar que a carga total efetivamente presente dentro de qualquer superfície fechada que fique inteiramente no interior do metal é zero (as cargas de excesso repousam na superfície externa do condutor). Ambas as ideias são consistentes: sem carga no volume interno e sem campo no interior do condutor.
Passo 3
Escolha da superfície gaussiana (explicando o porquê):
- Por simetria (cilíndrica, coaxial), escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial de raio
e altura . - Essa superfície tem área lateral igual a
. As tampas (faces circulares) têm normais paralelas ao eixo e, por simetria, o campo (se existisse) seria radial; portanto só a área lateral contribui para o fluxo. - Esta escolha simplifica a aplicação da Lei de Gauss porque, por simetria,
teria magnitude constante na superfície lateral e direção radial.
Passo 4
Determinar a carga envolvida pela superfície gaussiana:
- Precisamos do carregamento efetivo dentro do cilindro de raio
. - Num condutor em equilíbrio eletrostático, toda a carga excessiva reside na superfície externa do condutor (isto é, na superfície
). Portanto, não há carga volumétrica no interior do metal nem no eixo; a carga fica situada na superfície . - Como a nossa superfície gaussiana está totalmente dentro do material condutor, ela não envolve nenhuma carga livre. Assim o carregamento envolvido é
Passo 5
Aplicar a Lei de Gauss com as quantidades explicitadas:
- A Lei de Gauss diz:
- Para a superfície cilíndrica escolhida, por simetria
é radial (ou nulo) e tem mesma magnitude em toda a lateral; as tampas não contribuem porque (radial) é perpendicular ao vetor normal das tampas. Logo o fluxo é
- Substituindo
obtemos
- Portanto
Passo 6
Interpretar magnitude, direção e sentido do vetor campo elétrico:
- Magnitude:
. - Direção: para um vetor nulo a direção estritamente não está definida (qualquer direção multiplicada por zero dá o vetor nulo). Em notação prática e conveniente, podemos escrever o campo como
, indicando que, se quisermos, o “componente radial” é nulo. - Sentido: idem à direção — não faz sentido falar em sentido de um vetor nulo; usualmente dizemos que não há sentido porque não há campo (ou escrevemos
).
Passo 7
Observação final útil para a prova (dicas práticas):
- Não importa quanto a casca externa esteja carregada (aqui
), enquanto a superfície gaussiana estiver dentro do metal (ou dentro de um condutor sólido), a carga externa não contribui para e, portanto, não afeta o campo interno: ele permanece nulo. - Em uma prova, ao ver “campo dentro de um condutor”, lembre-se imediatamente: campo elétrico interno é zero e você pode justificar isto com Gauss escolhendo uma superfície dentro do condutor.