Questão 9. Determine se a série converge ou diverge.(TESTE DA COMPARAÇÃO)
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{n}};

Passo 1

O enunciado pede que eu determine se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{n}}
converge ou diverge. Informação dada: os termos da série são a_n=\dfrac{1}{n^{n}} para n=1,2,3,\dots. Não há outras condições ocultas nem dependência de figuras. A pergunta é única: decidir convergência ou divergência da série.

Passo 2

Vou explicar o teste que vamos usar (Teste da Comparação, passo a passo). O Teste da Comparação direta diz o seguinte: se temos duas sequências não negativas (a_n) e (b_n) com
0 \le a_n \le b_n \quad\text{para todo } n\ge N
para algum N, então:
  • se \sum b_n converge, então \sum a_n também converge;
  • se \sum a_n diverge, então \sum b_n também diverge.
    Aqui a_n e b_n são os termos das séries que comparamos. A ideia é simples: uma série com termos menores ou iguais a outra convergente não pode “ultrapassar” a soma finita da maior — então também converge. Vamos aplicar isso escolhendo uma série b_n conhecida e fácil (normalmente uma geométrica).

Passo 3

Escolher a série comparadora. Uma escolha natural para séries com potências é uma série geométrica. Vou comparar a_n=\dfrac{1}{n^{n}} com b_n=\dfrac{1}{2^{n}}. Primeiro verifico a desigualdade para n grande (a partir de algum N):
Para n\ge 2 temos n\ge 2. Como elevar ambos os lados à potência n (número positivo) preserva a desigualdade, segue que
n^{n} \ge 2^{n}.
Tomando recíprocos (tudo positivo) obtemos
\frac{1}{n^{n}} \le \frac{1}{2^{n}},\qquad \text{para todo } n\ge 2.
Além disso a_n\ge 0 para todo n. Assim a hipótese do Teste da Comparação direta está satisfeita (com N=2).

Passo 4

Analisar a série comparadora \sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{1}{2^{n}}. A série geométrica \sum_{n=0}^{\infty} r^{n} converge se e somente se |r|<1, e nesse caso
\sum_{n=0}^{\infty} r^{n} = \frac{1}{1-r}.
Aqui r=\dfrac{1}{2}, então \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{2^{n}}=\dfrac{1}{1-\frac{1}{2}}=2. Portanto a cauda que nos interessa é
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{2^{n}} = \frac{1}{2}.
Isso mostra que a série geométrica a partir de n=2 converge (e tem soma finita).

Passo 5

Aplicando o Teste da Comparação direta: para n\ge 2 temos 0\le \dfrac{1}{n^{n}} \le \dfrac{1}{2^{n}}, e \sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{1}{2^{n}} converge. Logo \sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{1}{n^{n}} converge. Somando o termo n=1 (que é \dfrac{1}{1^{1}}=1, um número finito), concluímos que a série completa \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{n}} converge. Uma estimativa útil que mostra isso explicitamente é
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{n}} \le 1 + \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{2^{n}} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2},
então a soma total é finita. Como todos os termos são positivos, essa é também convergência absoluta (mas para séries de termos positivos “convergência” já significa convergência absoluta).

Resposta

A série \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{n}} converge.

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