Questão 9. Determine se a série converge ou diverge.(TESTE DA COMPARAÇÃO)
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{n}};
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{n}};
Passo 1
O enunciado pede que eu determine se a série
converge ou diverge. Informação dada: os termos da série são
para
. Não há outras condições ocultas nem dependência de figuras. A pergunta é única: decidir convergência ou divergência da série.
Passo 2
Vou explicar o teste que vamos usar (Teste da Comparação, passo a passo). O Teste da Comparação direta diz o seguinte: se temos duas sequências não negativas
e
com
para algum
, então:
- se
converge, então também converge; - se
diverge, então também diverge.
Aquie são os termos das séries que comparamos. A ideia é simples: uma série com termos menores ou iguais a outra convergente não pode “ultrapassar” a soma finita da maior — então também converge. Vamos aplicar isso escolhendo uma série conhecida e fácil (normalmente uma geométrica).
Passo 3
Escolher a série comparadora. Uma escolha natural para séries com potências é uma série geométrica. Vou comparar
com
. Primeiro verifico a desigualdade para
grande (a partir de algum
):
Para temos
. Como elevar ambos os lados à potência
(número positivo) preserva a desigualdade, segue que
Para
Tomando recíprocos (tudo positivo) obtemos
Além disso
para todo
. Assim a hipótese do Teste da Comparação direta está satisfeita (com
).
Passo 4
Analisar a série comparadora
. A série geométrica
converge se e somente se
, e nesse caso
Aqui
, então
. Portanto a cauda que nos interessa é
Isso mostra que a série geométrica a partir de
converge (e tem soma finita).
Passo 5
Aplicando o Teste da Comparação direta: para
temos
, e
converge. Logo
converge. Somando o termo
(que é
, um número finito), concluímos que a série completa
converge. Uma estimativa útil que mostra isso explicitamente é
então a soma total é finita. Como todos os termos são positivos, essa é também convergência absoluta (mas para séries de termos positivos “convergência” já significa convergência absoluta).
Resposta
A série
converge.