Questão 9. Determine se a série converge ou diverge.(TESTE DA COMPARAÇÃO)
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n!};

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!}
converge ou diverge. Informações dadas e observações iniciais úteis:
  • Os termos da série são todos positivos, isto é, para todo n temos \frac{1}{n!}>0.
  • Aqui \,n!\, (fatorial) é definido por \,n! = 1\cdot2\cdot3\cdots n para n\ge1.
  • O enunciado indica usar o “Teste da Comparação”, então vamos comparar \frac{1}{n!} com uma sequência conhecida cujas somas sabemos se convergem.

Passo 2

Vou explicar o Teste da Comparação de forma clara (aquelas regras que a gente precisa decorar mas que também dá pra entender).
Teorema (Teste da Comparação, versão útil para séries com termos não-negativos):
sejam (a_n) e (b_n) sequências com 0\le a_n\le b_n para todo n suficientemente grande. Se a série
\sum_{n=1}^{\infty} b_n
converge, então a série
\sum_{n=1}^{\infty} a_n
também converge. A ideia é simples: se cada termo a_n é menor ou igual a um termo correspondente b_n e a soma dos b_n cabe (converge), a soma dos a_n também cabe.

Passo 3

Escolha da série comparadora: como \frac{1}{n!} decresce muito rápido, uma boa comparação é com uma série geométrica do tipo \sum c\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)^n, já que essas convergem quando a razão é menor que 1. Vou construir uma desigualdade simples e válida para todo n\ge1.
Observe que, para n\ge1,
n! = 1\cdot 2\cdot 3\cdots n \ge 1\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdots 2 = 2^{\,n-1},
porque entre os fatores 2,3,\dots,n cada um é pelo menos 2. Portanto temos a desigualdade
n! \ge 2^{\,n-1}\quad\text{para todo }n\ge1.

Passo 4

Invertendo a desigualdade do passo anterior (todos os termos são positivos), obtemos
\frac{1}{n!} \le \frac{1}{2^{\,n-1}}\quad\text{para todo }n\ge1.
Então podemos comparar a série dada com a série geométrica
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{\,n-1}}.

Passo 5

Estudo da série comparadora: a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{\,n-1}} é geométrica com razão r=\tfrac{1}{2} e primeiro termo \frac{1}{2^{0}}=1. Sabemos que uma série geométrica \sum_{n=0}^{\infty} r^n converge se |r|<1, e seu valor é \frac{1}{1-r}. Assim,
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{\,n-1}} = \sum_{k=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^k = \frac{1}{1-\tfrac{1}{2}} = 2,
logo a série comparadora converge.

Passo 6

Aplicando o Teste da Comparação: como para todo n\ge1 temos
0\le \frac{1}{n!} \le \frac{1}{2^{\,n-1}},
e \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{\,n-1}} converge, então pela comparação a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!}
também converge. (Como os termos são positivos, não precisamos falar em convergência absoluta separadamente — é convergência normal e positiva.)

Passo 7

Complemento útil (não exigido pelo enunciado, mas bom saber): a soma da série pode ser identificada usando a expansão da função exponencial. Sabemos que
e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}.
Daí,
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} = e - \frac{1}{0!} = e - 1.
Portanto a série não só converge, como sua soma é e-1.

Resposta

Converge; soma = e-1

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