Questão 9. Determine se a série converge ou diverge.(TESTE DA COMPARAÇÃO)
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n!};
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n!};
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge. Informações dadas e observações iniciais úteis:
- Os termos da série são todos positivos, isto é, para todo
temos . - Aqui
(fatorial) é definido por para . - O enunciado indica usar o “Teste da Comparação”, então vamos comparar
com uma sequência conhecida cujas somas sabemos se convergem.
Passo 2
Vou explicar o Teste da Comparação de forma clara (aquelas regras que a gente precisa decorar mas que também dá pra entender).
Teorema (Teste da Comparação, versão útil para séries com termos não-negativos):
sejam e
sequências com
para todo
suficientemente grande. Se a série
Teorema (Teste da Comparação, versão útil para séries com termos não-negativos):
sejam
converge, então a série
também converge. A ideia é simples: se cada termo
é menor ou igual a um termo correspondente
e a soma dos
cabe (converge), a soma dos
também cabe.
Passo 3
Escolha da série comparadora: como
decresce muito rápido, uma boa comparação é com uma série geométrica do tipo
, já que essas convergem quando a razão é menor que
. Vou construir uma desigualdade simples e válida para todo
.
Observe que, para
,
porque entre os fatores
cada um é pelo menos
. Portanto temos a desigualdade
Passo 4
Invertendo a desigualdade do passo anterior (todos os termos são positivos), obtemos
Então podemos comparar a série dada com a série geométrica
Passo 5
Estudo da série comparadora: a série
é geométrica com razão
e primeiro termo
. Sabemos que uma série geométrica
converge se
, e seu valor é
. Assim,
logo a série comparadora converge.
Passo 6
Aplicando o Teste da Comparação: como para todo
temos
e
converge, então pela comparação a série
também converge. (Como os termos são positivos, não precisamos falar em convergência absoluta separadamente — é convergência normal e positiva.)
Passo 7
Complemento útil (não exigido pelo enunciado, mas bom saber): a soma da série pode ser identificada usando a expansão da função exponencial. Sabemos que
Daí,
Portanto a série não só converge, como sua soma é
.
Resposta
Converge; soma