Uma barra cilíndrica condutora muito longa de raio R1 e comprimento L, carregada com carga Q 1=+q, é envolta por uma casca cilíndrica, de raio R 2 e mesmo comprimento L, carregada com uma carga Q 2=-2 q. Use a lei de Gauss para determinar:
(A) o vetor campo elétrico a uma distância radial r>R 2;
(B) o vetor campo elétrico a uma distância radial R 1<r<R 2;
(C) a carga nas superfícies interna e externa da casca.

Passo 1

O problema descreve dois condutores cilíndricos coaxiais muito longos de mesmo comprimento L:
– Um cilindro maciço de raio R1 carregado com Q1=+q.
– Uma casca cilíndrica de raio R2 carregada com Q2=-2q.
Vamos usar a lei de Gauss, aproveitando a simetria cilíndrica, para encontrar o campo elétrico radial E(r) nas duas regiões de interesse e, em seguida, determinar como a carga total -2q da casca se distribui em suas superfícies interna e externa.

Passo 2

Região externa à casca: r>R2.
Escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica de raio r e comprimento L. Da lei de Gauss,
oint Ecdot dA =E(r),l(2pi r Lr) =Qrm intvarepsilon0,
onde Qrm int=Q1+Q2=+q-2q=-q.
Logo,
E(r) =-q2pivarepsilon0,L,r Longrightarrow E(r) =,-q2pivarepsilon0,L,r,r
O sinal negativo indica que o campo aponta para dentro (no sentido -r).

Passo 3

Região entre o cilindro e a casca: R1<r<R2.
A superfície gaussiana cilíndrica de raio r agora envolve apenas o cilindro interno, de carga Q1=+q. Aplicando Gauss:
E(r),(2pi r L) =qvarepsilon0 Longrightarrow E(r) =q2pivarepsilon0,L,r Longrightarrow E(r) =q2pivarepsilon0,L,r,r

Passo 4

Distribuição de carga na casca.
No interior do material condutor (entre superfícies interna e externa) o campo deve ser zero. Se chamarmos de Qrm in a carga da face interna da casca, então numa superfície gaussiana logo abaixo dessa face (em r<R2) temos
Q1 + Qrm in = 0 Longrightarrow Qrm in = -Q1 = -q
Como a casca tem carga total Q2=-2q, a carga na face externa é
Qrm out = Q2 - Qrm in = -2q - (-q) = -q

Resposta

(A) Para r>R2:
E(r) =-q2pivarepsilon0,L,r,r
(B) Para R1<r<R2:
E(r) =q2pivarepsilon0,L,r,r
(C) Carga na casca:
Qrm interna=-q, Qrm externa=-q

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