Uma membrana plástica separa sal ( NaCl ) em um processo de osmose reversa da água, para torná-la potável. A concentração è 0,033 e 0,0005 \mathrm{kmol} / \mathrm{m}^{3} nas superficies interna e externa da membrana, que tem espessura de 1 mm e coeficiente de difusão \mathrm{D}= 1,0 \times 10^{-9} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}. Determine o fluxo difusivo em kmol/s \cdot \mathrm{m}^{2}.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo difusivo de NaCl através de uma membrana plana. Dados fornecidos (copiados do enunciado):
c_{\text{interna}}=0{,}033\\ \mathrm{kmol}\,\mathrm{m}^{-3} (concentração na superfície interna),
c_{\text{externa}}=0{,}0005\\ \mathrm{kmol}\,\mathrm{m}^{-3} (concentração na superfície externa),
espessura da membrana L=1\\ \mathrm{mm},
coeficiente de difusão D=1{,}0\times10^{-9}\\ \mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}.
O objetivo numérico é determinar o fluxo difusivo J em unidades de \mathrm{kmol}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{m}^{-2}.

Passo 2

Qual equação usamos? Para difusão estacionária unidimensional através de uma lâmina homogênea usamos a Lei de Fick (primeira lei):
J = -D\,\frac{dc}{dx}
onde J é o fluxo molar por área ( \mathrm{kmol}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{m}^{-2}), D é o coeficiente de difusão ( \mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}) e dc/dx é o gradiente de concentração ( \mathrm{kmol}\,\mathrm{m}^{-4}). O sinal negativo indica que o fluxo ocorre do maior para o menor valor de concentração.

Passo 3

Assumimos perfil de concentração linear entre as superfícies (estado estacionário, membrana uniforme), então o gradiente é simplesmente a diferença de concentrações dividida pela espessura:
\frac{dc}{dx}=\frac{c_{\text{externa}}-c_{\text{interna}}}{L}.
Substituindo na Lei de Fick:
J = -D\,\frac{c_{\text{externa}}-c_{\text{interna}}}{L} = D\,\frac{c_{\text{interna}}-c_{\text{externa}}}{L}.
Aqui defino explicitamente c_{\text{interna}} como o valor maior; assim escrevo a expressão sem o sinal negativo explicando que o fluxo é do interior para o exterior.

Passo 4

Convertemos a espessura para metros:
L = 1\\ \mathrm{mm} = 1\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Calculamos a diferença de concentrações:
\Delta c = c_{\text{interna}}-c_{\text{externa}} = 0{,}033 - 0{,}0005 = 0{,}0325\\ \mathrm{kmol}\,\mathrm{m}^{-3}.

Passo 6

Calculamos D/L:
\frac{D}{L}=\frac{1{,}0\times10^{-9}\\ \mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}}{1\times10^{-3}\\ \mathrm{m}}=1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}.

Passo 7

Agora o fluxo:
J = \frac{D}{L}\,\Delta c = 1{,}0\times10^{-6}\times0{,}0325 = 3{,}25\times10^{-8}\\ \mathrm{kmol}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{m}^{-2}.
Interpretação: este valor é positivo quando tomado no sentido “de dentro para fora” (do lado de maior concentração para o de menor concentração).

Passo 8

Resumo das hipóteses feitas (importante para a prova): assumimos difusão estacionária (perfil de concentração linear), coeficiente de difusão constante através da membrana, e que não há reações ou fluxo convectivo dentro da membrana. Se alguma dessas hipóteses não valesse, o cálculo mudaria.

Resposta

3{,}25\times10^{-8}\\ \mathrm{kmol}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{m}^{-2}

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