Discutir como determinar a deformação de elementos carregados axialmente;

Passo 1

O enunciado pede que a gente discuta como calcular a deformação axial de um elemento submetido a cargas ao longo do seu eixo. O conteúdo é Mecânica dos Materiais (Resistência dos Materiais), e vamos precisar usar: equilíbrio para obter a força normal N(x), Lei de Hooke ( \sigma = E\,\varepsilon) e a relação entre deformação e deslocamento ( \varepsilon = \tfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}).

Passo 2

Começamos pelo equilíbrio interno: em qualquer seção x do elemento, definimos a força normal interna N(x) resultante das cargas aplicadas. Em regime estático e desprezando inércia, N(x) é obtida por seções livres e soma de forças ao longo do eixo.

Passo 3

Com N(x) conhecido, definimos a tensão normal
\sigma(x) = \frac{N(x)}{A(x)},
onde A(x) é a área da seção transversal em x.

Passo 4

Aplicamos a Lei de Hooke para barras lineares e materiais lineares elásticos:
\varepsilon(x) = \frac{\sigma(x)}{E} = \frac{N(x)}{E\,A(x)}.
Aqui E é o módulo de Young do material.

Passo 5

A deformação axial total \delta é o deslocamento relativo entre as extremidades do elemento. Como \varepsilon = \tfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}, integramos ao longo do comprimento L:
\delta = u(L)-u(0) \;=\; \int_{0}^{L} \varepsilon(x)\,\mathrm{d}x \;=\;\int_{0}^{L}\frac{N(x)}{E\,A(x)}\,\mathrm{d}x.

Passo 6

No caso especial de barra de seção reta constante e carga axial constante N, isso simplifica para
\delta = \frac{N}{E\,A}\,\int_{0}^{L}\mathrm{d}x = \frac{N\,L}{E\,A}.

Resposta

A deformação axial de um elemento é dada em geral por
\delta = \int_{0}^{L}\frac{N(x)}{E\,A(x)}\,\mathrm{d}x,
e, para seção e carga constantes, por
\delta = \frac{N\,L}{E\,A}.

Exercícios relacionados