Uma barra condutora de L=60 \mathrm{~cm} fecha um circuito ( V=220 \mathrm{~V}, R=10 \Omega ) imerso em um campo magnético perpendicular. A barra está inclinada, com a extremidade esquerda a 28 cm e a direita a 80 cm de profundidade na região do campo. Desprezando a massa da barra, determine o campo B necessário para manter em equilíbrio uma massa de 1 kg suspensa \left(g=9,81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right).

Passo 1

O que o problema pede e o que foi dado (peguei estes números da figura):
  • Pede: determinar o campo magnético \,B\, necessário para que a força magnética que age na barra mantenha em equilíbrio uma massa \,m=1{,}0\\ \mathrm{kg}\, (ou seja, a força vertical para cima deve compensar mg).
  • Dados (da figura e do enunciado):
    • comprimento da barra: \,L=60\\ \mathrm{cm}=0,60\\ \mathrm{m}\, (peguei da figura);
    • profundidade da extremidade esquerda na região do campo: \,h_{\text{esq}}=28\\ \mathrm{cm}=0,28\\ \mathrm{m}\, (peguei da figura);
    • profundidade da extremidade direita na região do campo: \,h_{\text{dir}}=80\\ \mathrm{cm}=0,80\\ \mathrm{m}\, (peguei da figura);
    • bateria e resistência: \,V=220\\ \mathrm{V} e \,R=10\\ \Omega (enunciado/figura);
    • massa suspensa: \,m=1{,}0\\ \mathrm{kg} (enunciado);
    • aceleração da gravidade: \,g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}} (enunciado);
    • campo magnético uniforme e perpendicular ao plano do circuito (representado por \times, ou seja, para dentro da página) (figura).

Passo 2

Entender a geometria da barra e calcular a diferença vertical entre as extremidades.
  • A diferença vertical entre as extremidades é
\Delta y = h_{\text{dir}} - h_{\text{esq}} = 0,80 - 0,28 = 0,52\\ \mathrm{m}.
  • A barra é reta e tem comprimento \,L=0,60\\ \mathrm{m}. Assim há uma componente horizontal \Delta x tal que, pelo teorema de Pitágoras,
L^{2} = (\Delta x)^{2} + (\Delta y)^{2}.

Passo 3

Calcular a projeção horizontal \Delta x da barra (mostrarei as contas passo a passo).
(\Delta x)^{2} = L^{2} - (\Delta y)^{2} = 0,60^{2} - 0,52^{2} = 0,36 - 0,2704 = 0,0896.
Portanto
\Delta x = \sqrt{0,0896} \approx 0,2993\\ \mathrm{m}.
(Arredondei para quatro casas decimais na etapa intermediária; \Delta x\approx0,2993\\ \mathrm{m}.)

Passo 4

Determinar a corrente elétrica que percorre a barra.
  • O circuito tem uma fonte de \,V=220\\ \mathrm{V} e resistência total (assumindo a resistência da barra desprezível) \,R=10\\ \Omega. Pela lei de Ohm:
I = \frac{V}{R} = \frac{220}{10} = 22\\ \mathrm{A}.
  • Então a corrente que percorre a barra é \,I=22\\ \mathrm{A}.

Passo 5

Lembrar e usar a expressão da força magnética sobre um fio retilíneo imerso em campo uniforme.
  • Para um fio retilíneo percorrido por corrente \,I\, em um campo magnético uniforme \vec{B}, a força resultante sobre o fio é
\vec{F} = I\,\vec{L}\times\vec{B},
onde \vec{L} é o vetor que vai de uma extremidade à outra do fio (módulo \,L\, e direção do fio). Aqui \vec{B} é perpendicular ao plano (para dentro, podemos tomar \vec{B}=(0,0,-B)).
  • Seja \vec{L}=(\Delta x,\Delta y,0). O produto vetorial dá
\vec{L}\times\vec{B}=(-B\,\Delta y,\;B\,\Delta x,\;0).
Multiplicando por I,
\vec{F}=I(-B\,\Delta y,\;B\,\Delta x,\;0).
  • A componente vertical (para cima, eixo y) da força é, então,
F_{y}=I\,B\,\Delta x.
(Interpretação simples: a força resultante é perpendicular ao fio; sua componente vertical que sustenta a massa é proporcional à componente horizontal \Delta x da barra.)

Passo 6

Condição de equilíbrio vertical e resolução para B.
  • Em equilíbrio a componente vertical da força magnética deve igualar o peso:
I\,B\,\Delta x = m g.
  • Isolando B,
B = \frac{m g}{I\,\Delta x}.

Passo 7

Substituir os valores numéricos e calcular B passo a passo.
  • Numerador: m g = 1{,}0\times 9{,}81 = 9{,}81.
  • Denominador: I\,\Delta x = 22\times 0,2993 \approx 6{,}585.
  • Logo
B \approx \frac{9{,}81}{6{,}585} \approx 1{,}49\\ \mathrm{T}.

Passo 8

Comentário encorajador (curto): deu trabalho, mas a ideia central foi reconhecer que a força magnética resultante sobre o fio reto é I\vec{L}\times\vec{B} e que só a componente vertical dessa força precisa equilibrar mg. Você consegue repetir esse raciocínio na prova — respira fundo e manda ver!

Resposta

B \approx 1{,}49\\ \mathrm{T}

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