Uma partícula com carga q=-2,0 \mu \mathrm{C} está se movendo com velocidade \vec{v}=\left(4,0 \times 10^{3} \mathrm{~m} / \mathrm{s}\right) \hat{i} \left(2,0 \times 10^{3} \mathrm{~m} / \mathrm{s}\right) \hat{j}. Ela entra em uma região com campo magnético uniforme B=(0,500 \mathrm{~T}) \hat{j}+ (0,500 \mathrm{~T}) \widehat{k}. (a) Calcule o vetor força magnética \vec{F}_{B} que atua sobre a partícula. (b) Qual é o ângulo entre os vetores \vec{v} e \vec{B}.

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados (peguei estes números do enunciado):
  • Carga: q=-2,0\times10^{-6}\\ \mu\mathrm{C}. (ou seja, q=-2,0\times10^{-6}\\ \mathrm{C}).
  • Velocidade: \vec{v}=\left(4,0\times10^{3}\right)\hat{i}+\left(2,0\times10^{3}\right)\hat{j}+0\hat{k} \left(\mathrm{m/s}\right). Ou seja, v_x=4,0\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}, v_y=2,0\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}, v_z=0.
  • Campo magnético: \vec{B}=0\hat{i}+\left(0,500\right)\hat{j}+\left(0,500\right)\hat{k} \left(\mathrm{T}\right). Ou seja, B_x=0, B_y=0,500\\ \mathrm{T}, B_z=0,500\\ \mathrm{T}.
O enunciado pede:
(a) Calcular o vetor força magnética \vec{F}_{B} que atua sobre a partícula.
(b) Calcular o ângulo entre os vetores \vec{v} e \vec{B}.

Passo 2

Fórmula e ideia usada (aula rápida e prática): a força magnética sobre uma carga em movimento é dada pela regra de Lorentz (componente magnética):
\vec{F}_{B}=q\,\vec{v}\times\vec{B}.
Aqui:
  • q é a carga (em coulombs).
  • \vec{v} é o vetor velocidade (em \mathrm{m/s}).
  • \vec{B} é o campo magnético (em tesla).
    O produto vetorial \vec{v}\times\vec{B} produz um vetor perpendicular a \vec{v} e \vec{B}; conseguimos suas componentes usando o determinante (fórmula padrão):
\vec{v}\times\vec{B}= \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\\ v_x & v_y & v_z \\\ B_x & B_y & B_z \end{vmatrix} =\big(v_y B_z - v_z B_y\big)\hat{i}-\big(v_x B_z - v_z B_x\big)\hat{j}+\big(v_x B_y - v_y B_x\big)\hat{k}.
Vou aplicar essa fórmula com os componentes dados.

Passo 3

Substituindo os componentes (note que v_z=0 e B_x=0), a expressão simplifica a:
\vec{v}\times\vec{B}= \big(v_y B_z\big)\hat{i}-\big(v_x B_z\big)\hat{j}+\big(v_x B_y\big)\hat{k}.
Agora plugamos os valores numéricos:
v_x=4,0\times10^{3},\quad v_y=2,0\times10^{3},\quad B_y=0,500,\quad B_z=0,500.

Passo 4

Calcule termo a termo:
  • Componente em \hat{i}: v_y B_z=(2,0\times10^{3})\times(0,500)=2,0\times10^{3}\times0,5=1,0\times10^{3}.
  • Componente em \hat{j}: -v_x B_z=-(4,0\times10^{3})\times(0,500)=-4,0\times10^{3}\times0,5=-2,0\times10^{3}.
  • Componente em \hat{k}: v_x B_y=(4,0\times10^{3})\times(0,500)=4,0\times10^{3}\times0,5=2,0\times10^{3}.
Portanto
\vec{v}\times\vec{B}=\big(1,0\times10^{3}\big)\hat{i}+\big(-2,0\times10^{3}\big)\hat{j}+\big(2,0\times10^{3}\big)\hat{k}.

Passo 5

Agora multiplicamos pelo q. Lembre que q=-2,0\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
\vec{F}_{B}=q(\vec{v}\times\vec{B})=-2,0\times10^{-6}\times \big(1,0\times10^{3}\,\hat{i}-2,0\times10^{3}\,\hat{j}+2,0\times10^{3}\,\hat{k}\big).
Multiplicando cada componente:
  • F_x=-2,0\times10^{-6}\times1,0\times10^{3}=-2,0\times10^{-3}\\ \mathrm{N}.
  • F_y=-2,0\times10^{-6}\times(-2,0\times10^{3})=+4,0\times10^{-3}\\ \mathrm{N}.
  • F_z=-2,0\times10^{-6}\times2,0\times10^{3}=-4,0\times10^{-3}\\ \mathrm{N}.
Logo:
\vec{F}_{B}=\big(-2,0\times10^{-3}\big)\hat{i}+\big(4,0\times10^{-3}\big)\hat{j}+\big(-4,0\times10^{-3}\big)\hat{k}\\ \mathrm{N}.
Observação física curta: o sinal negativo da carga inverte a direção da força em relação ao sentido de \vec{v}\times\vec{B}, por isso aparecem componentes negativas onde o produto vetorial teria positivas.

Passo 6

Agora a parte (b): ângulo entre \vec{v} e \vec{B}. Fórmula (aula curta): o cosseno do ângulo \theta entre dois vetores é dado por
\cos\theta=\frac{\vec{v}\cdot\vec{B}}{|\vec{v}|\,|\vec{B}|},
onde o produto escalar é \vec{v}\cdot\vec{B}=v_x B_x+v_y B_y+v_z B_z e as normas são |\vec{v}|=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}, |\vec{B}|=\sqrt{B_x^2+B_y^2+B_z^2}.
Calcule:
  • Produto escalar: \vec{v}\cdot\vec{B}=(4,0\times10^{3})\cdot0+(2,0\times10^{3})\cdot0,500+0\cdot0,500=2,0\times10^{3}\times0,5=1,0\times10^{3}.
  • Norma de \vec{v}: |\vec{v}|=\sqrt{(4,0\times10^{3})^{2}+(2,0\times10^{3})^{2}}=\sqrt{16,0\times10^{6}+4,0\times10^{6}}=\sqrt{20,0\times10^{6}}=2,0\sqrt{5,0}\times10^{3}. Numeric.: |\vec{v}|\approx4,472\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}.
  • Norma de \vec{B}: |\vec{B}|=\sqrt{0^{2}+(0,500)^{2}+(0,500)^{2}}=\sqrt{0,25+0,25}=\sqrt{0,50}=\sqrt{\tfrac{1}{2}}\approx0,7071068\\ \mathrm{T}.
Produto das normas: |\vec{v}|\,|\vec{B}|\approx(4,472\times10^{3})\times0,7071068\approx3,162\times10^{3}.
Então
\cos\theta=\frac{1,0\times10^{3}}{3,162\times10^{3}}\approx0,31622777.
Portanto
\theta=\operatorname{arccos}(0,31622777)\approx71,565^\circ\approx1,249\\ \text{rad}.
Interpretação rápida: \theta é maior que 45^\circ e menor que 90^\circ — os vetores não são perpendiculares nem paralelos.

Resposta

\vec{F}_{B}=\big(-2,0\times10^{-3}\big)\hat{i}+\big(4,0\times10^{-3}\big)\hat{j}+\big(-4,0\times10^{-3}\big)\hat{k}\\ \mathrm{N}
\theta\approx71,565^\circ (aprox. 1,249\\ \text{rad})

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