Uma partícula com carga q=-2,0 \mu \mathrm{C} está se movendo com velocidade \vec{v}=\left(4,0 \times 10^{3} \mathrm{~m} / \mathrm{s}\right) \hat{i}\left(2,0 \times 10^{3} \mathrm{~m} / \mathrm{s}\right) \hat{j}. Ela entra em uma região com campo magnético uniforme B=(0,500 \mathrm{~T}) \hat{j}+ (0,500 \mathrm{~T}) \widehat{k}. (a) Calcule o vetor força magnética \vec{F}_{B} que atua sobre a partícula. (b) Qual é o ângulo entre os vetores \vec{v} e \vec{B}.
Passo 1
O enunciado nos dá os seguintes dados (peguei estes números do enunciado):
Velocidade: \vec{v}=\left(4,0\times10^{3}\right)\hat{i}+\left(2,0\times10^{3}\right)\hat{j}+0\hat{k}\left(\mathrm{m/s}\right). Ou seja, v_x=4,0\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}, v_y=2,0\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}, v_z=0.
Campo magnético: \vec{B}=0\hat{i}+\left(0,500\right)\hat{j}+\left(0,500\right)\hat{k}\left(\mathrm{T}\right). Ou seja, B_x=0, B_y=0,500\\ \mathrm{T}, B_z=0,500\\ \mathrm{T}.
O enunciado pede:
(a) Calcular o vetor força magnética \vec{F}_{B} que atua sobre a partícula.
(b) Calcular o ângulo entre os vetores \vec{v} e \vec{B}.
Passo 2
Fórmula e ideia usada (aula rápida e prática): a força magnética sobre uma carga em movimento é dada pela regra de Lorentz (componente magnética):
\vec{F}_{B}=q\,\vec{v}\times\vec{B}.
Aqui:
q é a carga (em coulombs).
\vec{v} é o vetor velocidade (em \mathrm{m/s}).
\vec{B} é o campo magnético (em tesla).
O produto vetorial \vec{v}\times\vec{B} produz um vetor perpendicular a \vec{v} e \vec{B}; conseguimos suas componentes usando o determinante (fórmula padrão):
Observação física curta: o sinal negativo da carga inverte a direção da força em relação ao sentido de \vec{v}\times\vec{B}, por isso aparecem componentes negativas onde o produto vetorial teria positivas.
Passo 6
Agora a parte (b): ângulo entre \vec{v} e \vec{B}. Fórmula (aula curta): o cosseno do ângulo \theta entre dois vetores é dado por
onde o produto escalar é \vec{v}\cdot\vec{B}=v_x B_x+v_y B_y+v_z B_z e as normas são |\vec{v}|=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}, |\vec{B}|=\sqrt{B_x^2+B_y^2+B_z^2}.