Uma barra delgada AB de 15 kg tem 2,5 m de comprimento e está pivotada em um ponto O , situado a 0,5 m da extremidade B. A outra extremidade é pressionada contra uma mola de constante k=300 kN / m, até que a mola esteja comprimida de 40 mm . A barra fica, entâo, em uma posição horizontal. Se a barra é liberada dessa posição, dtermine a velocidade angular e a reação no pivô O quando a barra passa pela posiçăo vertical.
Na soluçũo apresente: (a) a energia potencial e energia cinética nas posiçőes 1 e 2, (b) no cálculo da reação no pivô apresente o diagrama de corpo livre, ilustrando as forças externas e forças efetivas e momentos efetivos. (40 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos resumir a questão e o que a gente vai precisar para resolver. Temos uma barra delgada AB com massa de 15 kg e comprimento total de 2,5 metros. Ela está pivotada no ponto O, que fica a 0,5 metros da extremidade B. A outra extremidade A está pressionada contra uma mola com constante elástica , comprimida 40 mm (0,04 m). A barra começa na posição horizontal e, quando liberada, vai girar até a posição vertical. Precisamos descobrir:
(a) As energias potencial e cinética nas posições 1 (horizontal) e 2 (vertical).
(b) A reação no pivô O quando a barra está na posição vertical, usando um diagrama de corpo livre que mostra todas as forças e momentos envolvidos.
Para resolver, vamos usar conceitos de energia mecânica, momento de inércia, velocidades angulares e equilíbrio de forças rotacionais.

Passo 2

Vamos começar calculando a energia potencial na posição 1, que é quando a barra está comprimida e na posição horizontal.
A energia potencial armazenada na mola quando está comprimida é dada por:
Umola = 12 k De
Substituindo os valores:
Umola = 12 times 300,000 , N/m times (0,04 , m)^2 = 240 , J
Além disso, a barra também tem energia potencial gravitacional devido à sua posição. Na horizontal, o centro de massa está a uma altura máxima em relação à posição vertical.
A energia potencial gravitacional é:
Ugrav = m g h
Onde Ugrav,1 = 15 , kg times 9,81 , m/s^2 times 0,75 , m = 110,36 , J é a altura do centro de massa em relação à posição vertical. Para uma barra uniformemente distribuída, o centro de massa está no meio do comprimento, ou seja, a 1,25 m de A.
Como o pivô está a 0,5 m de B, a distância do pivô ao centro de massa é U1 = Umola + Ugrav,1 = 240 , J + 110,36 , J = 350,36 , J .
Na posição horizontal, a altura do centro de massa em relação à posição vertical é .
Então:
Portanto, a energia potencial total na posição 1 é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a energia potencial na posição 2, quando a barra está na posição vertical.
Na posição vertical, a mola está descomprimida, então sua energia potencial é zero:
Umola,2 = 0 , J
A energia potencial gravitacional na posição vertical é menor, pois o centro de massa está mais baixo.
Usando a mesma fórmula:
Ugrav,2 = m g h2
Neste caso, Ugrav,2 = 15 , kg times 9,81 , m/s^2 times 0 , m = 0 , J (considerando a posição vertical como referência).
Então:
U2 = 0 , J
Portanto, a energia potencial total na posição 2 é:

Passo 4

Vamos agora aplicar o princípio da conservação da energia mecânica para determinar a energia cinética na posição 2.
A energia mecânica total é conservada se não houver perdas, então:
Etotal,1 = Etotal,2
U1 + K1 = U2 + K2
Na posição 1, a barra está parada, então 350,36 , J = 0 , J + K2 . Substituindo:
K2 = 350,36 , J
Então:

Passo 5

Agora, vamos relacionar a energia cinética K = 12 I omega^2 à velocidade angular I = 13 m L^2 na posição vertical.
A energia cinética rotacional é dada por:
I = Icm + m d^2
Onde I = 112 times 15 , kg times (2,5 , m)^2 + 15 , kg times (0,75 , m)^2 é o momento de inércia da barra em relação ao eixo de rotação.
Para uma barra delgada pivotada a uma das extremidades, o momento de inércia é:
I = 112 times 15 times 6,25 + 15 times 0,5625
Mas aqui, o pivô não está na extremidade A, mas a 0,5 m de B. Então, precisamos usar o Teorema de Steiner (ou Teorema de Eixo Paralelo):
I = 15 times 6,2512 + 8,4375
Onde I = 7,8125 + 8,4375 = 16,25 , kgm^2 é o momento de inércia em relação ao centro de massa e 350,36 = 12 times 16,25 times omega^2 é a distância do centro de massa ao pivô.
Para a barra, omega^2 = 2 times 350,3616,25 = 700,7216,25 approx 43,11 .
Então:
omega = raiz43,11 approx 6,57 , rad/s
Agora, podemos calcular :

Passo 6

Agora vamos calcular a reação no pivô O quando a barra está na posição vertical. Para isso, vamos montar o diagrama de corpo livre na posição 2.
As forças que atuam na barra na posição vertical são:
  • Peso ( ): Atua no centro de massa, para baixo. .
  • Reação no pivô ( ): Pode ter componentes horizontal ( ) e vertical ( ).
Como a barra está girando, há também a força centrípeta devido à rotação, mas no momento específico em que passa pela vertical, não h�� aceleração radial, apenas a força centrípeta é equilibrada pelas forças.

Passo 7

Aplicando a segunda lei de Newton para rotação, temos que a soma dos torques em relação ao pivô O é igual ao momento de inércia multiplicado pela aceleração angular.
Na posição vertical, a aceleração angular é zero porque estamos considerando o momento em que a barra passa pela vertical, não há aceleração instantânea na velocidade angular.
Portanto, a soma dos torques é zero:
sum tau = 0
As forças que causam torque são o peso e a reação no pivô. Porém, a reação no pivô não gera torque porque sua linha de ação passa pelo pivô.
Então, o único torque é devido ao peso:
tau = P times d = 147,15 , N times 0,75 , m = 110,36 , Nm
Mas como a barra está em equilíbrio rotacional no instante da verticalização, esse torque deve ser balanceado pela força centrípeta, o que implica que a reação no pivô deve fornecer a força necessária para manter o movimento circular.

Passo 8

Agora, para encontrar as componentes da reação no pivô, consideramos as forças na direção vertical e horizontal.
Na direção vertical:
Ry + N - P = m ay
Onde Ry - 147,15 = 0 Rightarrow Ry = 147,15 , N é a força normal e Rx = m ax é a aceleração vertical, que neste caso é zero.
Então:
ax = omega^2 r
Na direção horizontal, a força centrípeta é fornecida pela componente horizontal da reação:
ax = (6,57)^2 times 0,75 approx 32,38 , m/s^2
A aceleração centrípeta Rx = 15 times 32,38 approx 485,7 , N é relacionada à velocidade angular:
R = raizRx^2 + Ry^2 = raiz(485,7)^2 + (147,15)^2 approx 505,6 , N
Onde .
Então:
Agora, a reação total no pivô é a combinação das componentes e :

Resposta

Quando a barra passa pela posição vertical, a velocidade angular é aproximadamente e a reação no pivô O é de aproximadamente .

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