Uma barra delgada AB de 15 kg tem
de comprimento e está pivotada em um ponto O , situado a
da extremidade B. A outra extremidade é pressionada contra uma mola de constante
, até que a mola esteja comprimida de 40 mm . A barra fica, entâo, em uma posição horizontal. Se a barra é liberada dessa posição, dtermine a velocidade angular e a reação no pivô O quando a barra passa pela posiçăo vertical.
Na soluçũo apresente: (a) a energia potencial e energia cinética nas posiçőes 1 e 2, (b) no cálculo da reação no pivô apresente o diagrama de corpo livre, ilustrando as forças externas e forças efetivas e momentos efetivos. (40 pontos)
Na soluçũo apresente: (a) a energia potencial e energia cinética nas posiçőes 1 e 2, (b) no cálculo da reação no pivô apresente o diagrama de corpo livre, ilustrando as forças externas e forças efetivas e momentos efetivos. (40 pontos)
Passo 1
Beleza, vamos resumir a questão e o que a gente vai precisar para resolver. Temos uma barra delgada AB com massa de 15 kg e comprimento total de 2,5 metros. Ela está pivotada no ponto O, que fica a 0,5 metros da extremidade B. A outra extremidade A está pressionada contra uma mola com constante elástica
, comprimida 40 mm (0,04 m). A barra começa na posição horizontal e, quando liberada, vai girar até a posição vertical. Precisamos descobrir:
(a) As energias potencial e cinética nas posições 1 (horizontal) e 2 (vertical).
(b) A reação no pivô O quando a barra está na posição vertical, usando um diagrama de corpo livre que mostra todas as forças e momentos envolvidos.
Para resolver, vamos usar conceitos de energia mecânica, momento de inércia, velocidades angulares e equilíbrio de forças rotacionais.
Passo 2
Vamos começar calculando a energia potencial na posição 1, que é quando a barra está comprimida e na posição horizontal.
A energia potencial armazenada na mola quando está comprimida é dada por:
Substituindo os valores:
Além disso, a barra também tem energia potencial gravitacional devido à sua posição. Na horizontal, o centro de massa está a uma altura máxima em relação à posição vertical.
A energia potencial gravitacional é:
Onde
é a altura do centro de massa em relação à posição vertical. Para uma barra uniformemente distribuída, o centro de massa está no meio do comprimento, ou seja, a 1,25 m de A.
Como o pivô está a 0,5 m de B, a distância do pivô ao centro de massa é
.
Na posição horizontal, a altura do centro de massa em relação à posição vertical é
.
Então:
Portanto, a energia potencial total na posição 1 é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a energia potencial na posição 2, quando a barra está na posição vertical.
Na posição vertical, a mola está descomprimida, então sua energia potencial é zero:
A energia potencial gravitacional na posição vertical é menor, pois o centro de massa está mais baixo.
Usando a mesma fórmula:
Neste caso,
(considerando a posição vertical como referência).
Então:
Portanto, a energia potencial total na posição 2 é:
Passo 4
Vamos agora aplicar o princípio da conservação da energia mecânica para determinar a energia cinética na posição 2.
A energia mecânica total é conservada se não houver perdas, então:
Na posição 1, a barra está parada, então
. Substituindo:
Então:
Passo 5
Agora, vamos relacionar a energia cinética
à velocidade angular
na posição vertical.
A energia cinética rotacional é dada por:
Onde
é o momento de inércia da barra em relação ao eixo de rotação.
Para uma barra delgada pivotada a uma das extremidades, o momento de inércia é:
Mas aqui, o pivô não está na extremidade A, mas a 0,5 m de B. Então, precisamos usar o Teorema de Steiner (ou Teorema de Eixo Paralelo):
Onde
é o momento de inércia em relação ao centro de massa e
é a distância do centro de massa ao pivô.
Para a barra,
.
Então:
Agora, podemos calcular
:
Passo 6
Agora vamos calcular a reação no pivô O quando a barra está na posição vertical. Para isso, vamos montar o diagrama de corpo livre na posição 2.
As forças que atuam na barra na posição vertical são:
-
Peso (
): Atua no centro de massa, para baixo. . -
Reação no pivô (
): Pode ter componentes horizontal ( ) e vertical ( ).
Como a barra está girando, há também a força centrípeta devido à rotação, mas no momento específico em que passa pela vertical, não h�� aceleração radial, apenas a força centrípeta é equilibrada pelas forças.
Passo 7
Aplicando a segunda lei de Newton para rotação, temos que a soma dos torques em relação ao pivô O é igual ao momento de inércia multiplicado pela aceleração angular.
Na posição vertical, a aceleração angular é zero porque estamos considerando o momento em que a barra passa pela vertical, não há aceleração instantânea na velocidade angular.
Portanto, a soma dos torques é zero:
As forças que causam torque são o peso e a reação no pivô. Porém, a reação no pivô não gera torque porque sua linha de ação passa pelo pivô.
Então, o único torque é devido ao peso:
Mas como a barra está em equilíbrio rotacional no instante da verticalização, esse torque deve ser balanceado pela força centrípeta, o que implica que a reação no pivô deve fornecer a força necessária para manter o movimento circular.
Passo 8
Agora, para encontrar as componentes da reação no pivô, consideramos as forças na direção vertical e horizontal.
Na direção vertical:
Onde
é a força normal e
é a aceleração vertical, que neste caso é zero.
Então:
Na direção horizontal, a força centrípeta é fornecida pela componente horizontal da reação:
A aceleração centrípeta
é relacionada à velocidade angular:
Onde
.
Então:
Agora, a reação total no pivô
é a combinação das componentes
e
:
Resposta
Quando a barra passa pela posição vertical, a velocidade angular é aproximadamente
e a reação no pivô O é de aproximadamente
.