Três forças são aplicadas a uma barra que pode girar em torno de um eixo fixo no seu ponto central. Uma força atua sobre o ponto central, a segunda a 10 cm à esquerda do ponto central e a terceira a 5 cm à direita. As forças que atuam à esquerda e à direita são paralelas entre si e ambas perpendiculares à barra, mas a força que atua sobre o ponto central é perpendicular às outras duas. Quais são os módulos das forças à esquerda e à direita para que a barra esteja em equilíbrio estático?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma barra que pode girar em torno de um ponto fixo no meio. Temos três forças agindo nela:
  1. Uma força no ponto central.
  2. Uma força a 10 cm à esquerda do centro.
  3. Outra força a 5 cm à direita do centro.
As forças nas laterais são paralelas e perpendiculares à barra, enquanto a força no centro também é perpendicular às outras duas. Nosso objetivo é encontrar os módulos dessas forças laterais para que a barra fique em equilíbrio estático. Para isso, vamos usar conceitos de torque e equilíbrio de forças.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um objeto estar em equilíbrio estático, duas coisas precisam acontecer:
  1. A soma das forças que atuam sobre ele deve ser zero (equilíbrio de forças).
  2. A soma dos torques (ou momentos) em relação a qualquer ponto deve ser zero (equilíbrio de torques).
Então, vamos analisar essas duas condições.

Passo 3

Vamos começar com o equilíbrio de torques. O torque ( tau) é dado pela fórmula:
tau = F times d
Onde:
  • F é a força aplicada.
  • d é a distância do ponto de aplicação da força até o ponto de rotação.
Como a barra está em equilíbrio, a soma dos torques no sentido horário deve ser igual à soma dos torques no sentido anti-horário.

Passo 4

Vamos definir:
  • Torque da força à esquerda: $ \tau_{esquerda} = F_{esquerda} \times 10 , cm $ (sentido anti-horário).
  • Torque da força à direita: $ \tau_{direita} = F_{direita} \times 5 , cm $ (sentido horário).
Como a força central não gera torque (ela atua no ponto de rotação), podemos ignorá-la nessa parte.
Para equilíbrio:
tauesquerda = Fesquerda times 10 , cm
Então:
taudireita = Fdireita times 5 , cm

Passo 5

Resolvendo a equação acima para relacionar Fesquerda e Fdireita:
Fesquerda times 10 = Fdireita times 5 Rightarrow Fesquerda = Fdireita times 510 Rightarrow Fesquerda = Fdireita2
Ou seja, a força à esquerda é metade da força à direita.

Passo 6

Agora, vamos considerar o equilíbrio de forças. A soma de todas as forças deve ser zero. Vamos considerar as direções:
  • Força à esquerda: para a esquerda.
  • Força à direita: para a direita.
  • Força central: perpendicular às outras duas (mas precisamos saber sua direção exata para somar).
Assumindo que a força central também atua na vertical (perpendicular às laterais que estão na horizontal), temos:
Sigma F = 0 Fcentral + Fesquerda - Fdireita = 0

Passo 7

Substituindo Fesquerda da equação anterior:
Fcentral + Fdireita2 - Fdireita = 0 Fcentral - Fdireita2 = 0 Fcentral = Fdireita2
Então, a força central é metade da força à direita.

Passo 8

Agora, podemos relacionar todas as forças. Supondo que a força central seja conhecida, podemos encontrar Fdireita e Fesquerda. No entanto, o enunciado não nos dá um valor para a força central. Isso sugere que podemos expressar Fesquerda e Fdireita em termos de Fcentral.
Dessa forma:
Fdireita = 2 times Fcentral Fesquerda = Fdireita2 = Fcentral

Resposta

Para que a barra esteja em equilíbrio estático, a força à direita deve ser o dobro da força central, e a força à esquerda deve ser igual à força central. Ou seja:
Fesquerda = Fcentral Fdireita = 2 times Fcentral

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