Uma barra delgada com distribuição uniforme de cargas tem comprimento L e uma carga total Q^{\prime}<0. A barra está disposta ao longo do eixo x, com a extremidade direita na posição (0,0).
a) Calcule o vetor campo elétrico total que essa barra exerce no ponto ( b, 0 ), com b>0 e b>L
b) Uma carga de prova \mathrm{q}<0 é inserida no ponto ( b, 0 ). Calcule o vetor força elétrica que a barra exerce nessa carga.
c) O que ocorre com a expressão da força elétrica na carga \mathrm{q}<0 no ponto (b, 0) quando: i) L tende à 0 ? ii) \mathrm{b} \gg \mathrm{L} ? Justifique!
d) Repetir os itens a) até c), considerando que a extremidade esquerda da barra localiza-se, agora, na posição ( \mathrm{a}, 0 ), com \mathrm{a}>0. Considere também que b>L+|a|
e) Repetir os itens a) até c), considerando que a extremidade esquerda da barra localiza-se, agora, na posição ( \mathrm{a}, 0 ), com \mathrm{a}<0. Considere também que b>L+|a|

Passo 1

O que o enunciado pede e as informações dadas.
  • Dados geometricamente:
    • A barra é linear, de comprimento L.
    • A extremidade direita da barra está em (0,0). Logo a barra ocupa o intervalo em x de -L (extremidade esquerda) até 0 (extremidade direita).
    • A barra tem carga total Q'<0 distribuída uniformemente ao longo do comprimento.
    • O ponto de interesse é (b,0) com b>0 e b>L (ou seja, o ponto está à direita da barra, fora da extremidade direita).
  • O que se pede (itens a → e):
    a) Calcular o vetor campo elétrico total \vec{E} no ponto (b,0).
    b) Inserir uma carga de prova q<0 em (b,0) e calcular a força elétrica \vec{F} sobre q.
    c) Analisar limites da expressão da força quando: (i) L\to0 e (ii) b\gg L; justificar.
    d) Repetir a)–c) agora com a extremidade esquerda da barra em (a,0) com a>0. Considere b>L+|a| (o ponto está à direita da barra).
    e) Repetir a)–c) com a extremidade esquerda em (a,0) com a<0. Considere b>L+|a| (novamente o ponto está à direita da barra).
Informações adicionais que vou usar (teoria básica necessária, sem pressupor conhecimento prévio):
  • Constante de Coulomb: k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}.
  • Para uma densidade linear uniforme \lambda numa barra de comprimento L com carga total Q' vale \lambda=\dfrac{Q'}{L}.
  • Campo elétrico gerado por um elemento de carga dq no ponto a uma distância r tem magnitude dE = k\,\dfrac{dq}{r^2} e direção do vetor \vec{r} que vai do elemento até o ponto de observação; em um caso unidimensional sobre o eixo x isso simplifica a uma componente x só.

Passo 2

Definir a densidade linear e a notação para integrar.
  • Densidade linear (peguei Q' e L do enunciado):
\lambda = \dfrac{Q'}{L}.
  • Coordenadas: cada elemento da barra está em x' variando de -L até 0. Um elemento de comprimento é dx' e carrega dq=\lambda\,dx'.
  • Distância entre um elemento em x' e o ponto b é r=b-x'. Como b>0 e x'\le 0, temos r>0.
  • Direção: todos os vetores \vec{r} apontam na direção +x (do elemento para o ponto) quando o elemento está à esquerda do ponto; o sinal do campo será determinado por dq (se dq for negativo, o campo aponta em direção ao elemento, ou seja, para -\hat{\imath}).

Passo 3

Expressar o diferencial do campo e montar a integral (item a).
  • Um elemento dq=\lambda\,dx' produz, no ponto x=b, o diferencial de campo
d\vec{E} = k\,\frac{dq}{(b-x')^2}\,\hat{r}.
Aqui \hat{r} é o versor que aponta do elemento até o ponto de observação; como b-x'>0 ele é +\hat{\imath}. Logo, em componente x:
dE_x = k\,\frac{\lambda\,dx'}{(b-x')^2}.
  • O campo total é a integral de dE_x de x'=-L até x'=0:
E_x = k\lambda \int_{-L}^{0} \frac{dx'}{(b-x')^2}.

Passo 4

Calcular a integral passo a passo.
  • Faça a substituição u=b-x'. Então du=-dx'.
    • Quando x'=-L, u=b+L.
    • Quando x'=0, u=b.
  • A integral fica
\int_{-L}^{0}\frac{dx'}{(b-x')^2} = \int_{u=b+L}^{u=b}\frac{-du}{u^2} = \int_{b}^{\,b+L}\frac{du}{u^2}.
  • Calcule a primitiva: \displaystyle \int \frac{du}{u^2} = -\frac{1}{u}. Assim
\int_{b}^{\,b+L}\frac{du}{u^2} = \left[-\frac{1}{u}\right]_{b}^{\,b+L} = -\frac{1}{b+L} + \frac{1}{b} = \frac{1}{b} - \frac{1}{b+L}.
  • Portanto
E_x = k\lambda\Big(\frac{1}{b} - \frac{1}{b+L}\Big).

Passo 5

Expressar o vetor campo elétrico final e comentar o sinal (item a resposta detalhada).
  • Substituindo \lambda=\dfrac{Q'}{L}:
\vec{E}(b,0) = k\,\frac{Q'}{L}\Big(\frac{1}{b} - \frac{1}{b+L}\Big)\hat{\imath}.
  • Interpretação do sinal: como Q'<0, a quantidade \dfrac{Q'}{L} é negativa. O parêntese \big(\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{b+L}\big) é positivo, então E_x<0: o campo aponta para -\hat{\imath} (isto é, para a esquerda), como esperado para uma distribuição de carga negativa vista a sua direita (o campo aponta em direção à carga).
  • Forma alternativa, exibindo magnitude positiva e direção:
\vec{E}(b,0) = -\,k\,\frac{|Q'|}{L}\Big(\frac{1}{b} - \frac{1}{b+L}\Big)\hat{\imath}.

Passo 6

Força sobre a carga de prova q<0 no ponto (b,0) (item b).
  • Força elétrica: \vec{F}=q\,\vec{E}.
  • Substituindo \vec{E}:
\vec{F} = q\,k\,\frac{Q'}{L}\Big(\frac{1}{b} - \frac{1}{b+L}\Big)\hat{\imath}.
  • Comentário de direção: q<0 e Q'<0 então qQ'>0. O fator entre parênteses é positivo, e k>0, logo \vec{F} tem componente F_x>0, ou seja, a força aponta para +\hat{\imath} (para a direita). Física: duas cargas negativas se repelem — a barra (à esquerda) repele a carga de prova localizada à sua direita, empurrando-a para a direita.

Passo 7

Limites e interpretações físicas (item c).
(i) Limite L\to 0 (barra encurta mantendo Q' fixo e a extremidade direita fixa em 0).
  • Quando L\to0, \dfrac{1}{b+L} \to \dfrac{1}{b}. Mais útil é expandir para ordem baixa:
\frac{1}{b} - \frac{1}{b+L} \approx \frac{1}{b} - \frac{1}{b}\Big(1 - \frac{L}{b} + \cdots\Big) = \frac{L}{b^2} + \mathcal{O}\!\Big(\frac{L^2}{b^3}\Big).
  • Então
\vec{E} \approx k\frac{Q'}{L}\cdot\frac{L}{b^2}\hat{\imath} = k\frac{Q'}{b^2}\hat{\imath}.
  • Isto corresponde exatamente ao campo de uma carga pontual Q' localizada em x=0, à distância b: \vec{E}=kQ'/b^2\,\hat{\imath}. Conclusão: ao encolher a barra mantendo Q' sua carga fica concentrada na extremidade direita x=0, e o campo tende ao do ponto carregado.
(ii) Limite b\gg L (ponto muito longe comparado ao comprimento da barra).
  • Para b\gg L podemos fazer expansão em L/b\ll1:
\frac{1}{b} - \frac{1}{b+L} = \frac{1}{b}\Big(1 - \frac{1}{1+L/b}\Big) \approx \frac{1}{b}\Big(1 - (1 - \frac{L}{b} + \cdots)\Big) = \frac{L}{b^2} + \cdots
  • Substituindo em \vec{E}:
\vec{E} \approx k\frac{Q'}{L}\cdot\frac{L}{b^2}\hat{\imath} = k\frac{Q'}{b^2}\hat{\imath}.
  • Interpretação física: visto de muito longe, a barra age como uma carga pontual Q' localizada aproximadamente na origem (a diferença entre posições dentro da barra fica desprezível), dando o campo de monopolo kQ'/b^2. Para forças, o mesmo raciocínio: \vec{F}\approx qkQ'/b^2\,\hat{\imath}.

Passo 8

Caso d) — barra com extremidade esquerda em x=a, a>0; barra ocupa [a,a+L] e b>a+L. Repetir a)–c).
  • Agora cada elemento está em x'\in[a,a+L]. A densidade continua \lambda=Q'/L.
  • Montagem da integral (idêntica à anterior, mudando limites):
E_x = k\lambda \int_{a}^{\,a+L}\frac{dx'}{(b-x')^2}.
  • Substituição u=b-x', du=-dx'.
    • Quando x'=a, u=b-a.
    • Quando x'=a+L, u=b-a-L.
  • A integral vira
\int_{a}^{a+L}\frac{dx'}{(b-x')^2} = \int_{u=b-a}^{\,b-a-L}\frac{-du}{u^2} = \int_{b-a-L}^{\,b-a}\frac{du}{u^2} = \left[-\frac{1}{u}\right]_{b-a-L}^{\,b-a} = \frac{1}{b-a-L} - \frac{1}{b-a}.
  • Portanto, o campo no ponto b é
\vec{E}(b,0) = k\,\frac{Q'}{L}\Big(\frac{1}{b-a-L} - \frac{1}{b-a}\Big)\hat{\imath}.
  • Observação de sinal: como antes Q'<0, o prefactor é negativo e o campo aponta para -\hat{\imath} (para a esquerda), coerente com a barra à esquerda do ponto.
Força sobre q<0:
\vec{F} = q\,\vec{E} = q\,k\,\frac{Q'}{L}\Big(\frac{1}{b-a-L} - \frac{1}{b-a}\Big)\hat{\imath}.
  • Limites:
    • L\to0 (barra encurta com extremidade esquerda em a fixa): usando desenvolvimento similar,
    \frac{1}{b-a-L}-\frac{1}{b-a} \approx \frac{L}{(b-a)^2},logo \vec{E}\to k\frac{Q'}{(b-a)^2}\hat{\imath},que é o campo de uma carga pontual Q' localizada em x=a (porque a barra encurta e a carga fica em a).
    • b\gg L (com b muito maior que L e também maior que a por hipótese b>a+L): expandindo em L/(b-a)\ll1 obtemos
    \vec{E}\approx k\frac{Q'}{(b-a)^2}\hat{\imath},ou seja, à distância grande comparada ao tamanho da barra (mas medida a partir de a), a barra se comporta como carga pontual Q' localizada em x=a (a extremidade esquerda), porque o limite L pequeno faz a distribuição se aproximar da extremidade esquerda quando esta é mantida fixa.

Passo 9

Caso e) — extremidade esquerda em x=a com a<0; barra ocupa [a,a+L]; condição b>L+|a| garante b>a+L (o ponto está à direita da barra). Repetir a)–c).
  • A dedução é idêntica ao caso d) (mesma integral, mesmos passos), apenas com a podendo ser negativo. Assim:
\vec{E}(b,0) = k\,\frac{Q'}{L}\Big(\frac{1}{b-a-L} - \frac{1}{b-a}\Big)\hat{\imath},
com b-a-L>0 por hipóteses (logo denominadores positivos).
  • Força sobre q<0:
\vec{F} = q\,k\,\frac{Q'}{L}\Big(\frac{1}{b-a-L} - \frac{1}{b-a}\Big)\hat{\imath}.
  • Limites:
    • L\to0: barra tende a uma carga pontual Q' em x=a; então
    \vec{E}\to k\frac{Q'}{(b-a)^2}\hat{\imath}.
    • b\gg L (com b bem maior que as dimensões da barra): expansão em L/(b-a)
    \vec{E}\approx k\frac{Q'}{(b-a)^2}\hat{\imath}.
  • Observação física: apesar de a negativo, a fórmula vale sem mudança; o que muda é a distância efetiva (b-a) entre o ponto e a extremidade esquerda. O sinal segue a mesma interpretação já dada (para Q'<0, \vec{E} aponta para a esquerda).

Resposta

a) \displaystyle \vec{E}(b,0)=k\,\frac{Q'}{L}\Big(\frac{1}{b}-\frac{1}{b+L}\Big)\hat{\imath}.
b) \displaystyle \vec{F}=q\,k\,\frac{Q'}{L}\Big(\frac{1}{b}-\frac{1}{b+L}\Big)\hat{\imath}.
c-i) \displaystyle \lim_{L\to0}\vec{F}=q\,k\,\frac{Q'}{b^2}\hat{\imath}.
c-ii) \displaystyle \text{Para }b\gg L:\\ \vec{F}\approx q\,k\,\frac{Q'}{b^2}\hat{\imath}.
d) (barra em [a,a+L] com a>0 e b>a+L)
  • \displaystyle \vec{E}(b,0)=k\,\frac{Q'}{L}\Big(\frac{1}{b-a-L}-\frac{1}{b-a}\Big)\hat{\imath}.
  • \displaystyle \vec{F}=q\,k\,\frac{Q'}{L}\Big(\frac{1}{b-a-L}-\frac{1}{b-a}\Big)\hat{\imath}.
  • L\to0:\\ \vec{F}\to q\,k\,\dfrac{Q'}{(b-a)^2}\hat{\imath}.
  • b\gg L:\\ \vec{F}\approx q\,k\,\dfrac{Q'}{(b-a)^2}\hat{\imath}.
e) (barra em [a,a+L] com a<0 e b>a+L)
  • \displaystyle \vec{E}(b,0)=k\,\frac{Q'}{L}\Big(\frac{1}{b-a-L}-\frac{1}{b-a}\Big)\hat{\imath}.
  • \displaystyle \vec{F}=q\,k\,\frac{Q'}{L}\Big(\frac{1}{b-a-L}-\frac{1}{b-a}\Big)\hat{\imath}.
  • L\to0:\\ \vec{F}\to q\,k\,\dfrac{Q'}{(b-a)^2}\hat{\imath}.
  • b\gg L:\\ \vec{F}\approx q\,k\,\dfrac{Q'}{(b-a)^2}\hat{\imath}.

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