Uma barra delgada com distribuição uniforme de cargas tem comprimento
e uma carga total
. A barra está disposta ao longo do eixo x, com a extremidade direita na posição
.
a) Calcule o vetor campo elétrico total que essa barra exerce no ponto (
), com
e
b) Uma carga de prova
é inserida no ponto (
). Calcule o vetor força elétrica que a barra exerce nessa carga.
c) O que ocorre com a expressão da força elétrica na carga
no ponto
quando: i) L tende à 0 ? ii)
? Justifique!
d) Repetir os itens a) até c), considerando que a extremidade esquerda da barra localiza-se, agora, na posição (
), com
. Considere também que
e) Repetir os itens a) até c), considerando que a extremidade esquerda da barra localiza-se, agora, na posição (
), com
. Considere também que
a) Calcule o vetor campo elétrico total que essa barra exerce no ponto (
b) Uma carga de prova
c) O que ocorre com a expressão da força elétrica na carga
d) Repetir os itens a) até c), considerando que a extremidade esquerda da barra localiza-se, agora, na posição (
e) Repetir os itens a) até c), considerando que a extremidade esquerda da barra localiza-se, agora, na posição (
Passo 1
O que o enunciado pede e as informações dadas.
- Dados geometricamente:
- A barra é linear, de comprimento
. - A extremidade direita da barra está em
. Logo a barra ocupa o intervalo em de (extremidade esquerda) até (extremidade direita). - A barra tem carga total
distribuída uniformemente ao longo do comprimento. - O ponto de interesse é
com e (ou seja, o ponto está à direita da barra, fora da extremidade direita).
- A barra é linear, de comprimento
- O que se pede (itens a → e):
a) Calcular o vetor campo elétrico totalno ponto .
b) Inserir uma carga de provaem e calcular a força elétrica sobre .
c) Analisar limites da expressão da força quando: (i)e (ii) ; justificar.
d) Repetir a)–c) agora com a extremidade esquerda da barra emcom . Considere (o ponto está à direita da barra).
e) Repetir a)–c) com a extremidade esquerda emcom . Considere (novamente o ponto está à direita da barra).
Informações adicionais que vou usar (teoria básica necessária, sem pressupor conhecimento prévio):
- Constante de Coulomb:
. - Para uma densidade linear uniforme
numa barra de comprimento com carga total vale . - Campo elétrico gerado por um elemento de carga
no ponto a uma distância tem magnitude e direção do vetor que vai do elemento até o ponto de observação; em um caso unidimensional sobre o eixo isso simplifica a uma componente só.
Passo 2
Definir a densidade linear e a notação para integrar.
- Densidade linear (peguei
e do enunciado):
- Coordenadas: cada elemento da barra está em
variando de até . Um elemento de comprimento é e carrega . - Distância entre um elemento em
e o ponto é . Como e , temos . - Direção: todos os vetores
apontam na direção (do elemento para o ponto) quando o elemento está à esquerda do ponto; o sinal do campo será determinado por (se for negativo, o campo aponta em direção ao elemento, ou seja, para ).
Passo 3
Expressar o diferencial do campo e montar a integral (item a).
- Um elemento
produz, no ponto , o diferencial de campo
Aqui
é o versor que aponta do elemento até o ponto de observação; como
ele é
. Logo, em componente
:
- O campo total é a integral de
de até :
Passo 4
Calcular a integral passo a passo.
- Faça a substituição
. Então . - Quando
, . - Quando
, .
- Quando
- A integral fica
- Calcule a primitiva:
. Assim
- Portanto
Passo 5
Expressar o vetor campo elétrico final e comentar o sinal (item a resposta detalhada).
- Substituindo
:
-
Interpretação do sinal: como
, a quantidade é negativa. O parêntese é positivo, então : o campo aponta para (isto é, para a esquerda), como esperado para uma distribuição de carga negativa vista a sua direita (o campo aponta em direção à carga). -
Forma alternativa, exibindo magnitude positiva e direção:
Passo 6
Força sobre a carga de prova
no ponto
(item b).
- Força elétrica:
. - Substituindo
:
- Comentário de direção:
e então . O fator entre parênteses é positivo, e , logo tem componente , ou seja, a força aponta para (para a direita). Física: duas cargas negativas se repelem — a barra (à esquerda) repele a carga de prova localizada à sua direita, empurrando-a para a direita.
Passo 7
Limites e interpretações físicas (item c).
(i) Limite
(barra encurta mantendo
fixo e a extremidade direita fixa em
).
- Quando
, . Mais útil é expandir para ordem baixa:
- Então
- Isto corresponde exatamente ao campo de uma carga pontual
localizada em , à distância : . Conclusão: ao encolher a barra mantendo sua carga fica concentrada na extremidade direita , e o campo tende ao do ponto carregado.
(ii) Limite
(ponto muito longe comparado ao comprimento da barra).
- Para
podemos fazer expansão em :
- Substituindo em
:
- Interpretação física: visto de muito longe, a barra age como uma carga pontual
localizada aproximadamente na origem (a diferença entre posições dentro da barra fica desprezível), dando o campo de monopolo . Para forças, o mesmo raciocínio: .
Passo 8
Caso d) — barra com extremidade esquerda em
,
; barra ocupa
e
. Repetir a)–c).
- Agora cada elemento está em
. A densidade continua . - Montagem da integral (idêntica à anterior, mudando limites):
- Substituição
, . - Quando
, . - Quando
, .
- Quando
- A integral vira
- Portanto, o campo no ponto
é
- Observação de sinal: como antes
, o prefactor é negativo e o campo aponta para (para a esquerda), coerente com a barra à esquerda do ponto.
Força sobre
:
- Limites:
-
(barra encurta com extremidade esquerda em fixa): usando desenvolvimento similar,
logo que é o campo de uma carga pontual localizada em (porque a barra encurta e a carga fica em ). -
(com muito maior que e também maior que por hipótese ): expandindo em obtemos
ou seja, à distância grande comparada ao tamanho da barra (mas medida a partir de ), a barra se comporta como carga pontual localizada em (a extremidade esquerda), porque o limite pequeno faz a distribuição se aproximar da extremidade esquerda quando esta é mantida fixa. -
Passo 9
Caso e) — extremidade esquerda em
com
; barra ocupa
; condição
garante
(o ponto está à direita da barra). Repetir a)–c).
- A dedução é idêntica ao caso d) (mesma integral, mesmos passos), apenas com
podendo ser negativo. Assim:
com
por hipóteses (logo denominadores positivos).
- Força sobre
:
- Limites:
-
: barra tende a uma carga pontual em ; então
-
(com bem maior que as dimensões da barra): expansão em dá
-
- Observação física: apesar de
negativo, a fórmula vale sem mudança; o que muda é a distância efetiva entre o ponto e a extremidade esquerda. O sinal segue a mesma interpretação já dada (para , aponta para a esquerda).
Resposta
a)
b)
c-i)
c-ii)
d) (barra em
com
e
)
e) (barra em
com
e
)