Dois corpos eletrizados tem a seguinte localização espacial no plano cartesiano: \mathbf{r}_{1}=(2,3) e \mathbf{r}_{2}(4,6). As coordenadas são adimensionais. Sabe-se que Q_{1}=+2 q e Q_{2}=-q. A partir dessas informações:
a) Determine o vetor força elétrica em cada corpo eletrizado ( \mathrm{Q}_{1} e \mathrm{Q}_{2} );
b) Determine o módulo do vetor força elétrica em cada corpo ( \mathrm{Q}_{1} e \mathrm{Q}_{2} );
c) Faça uma ilustração no plano cartesiano usando os resultados dos itens a) e b);
d) Mostre que o vetor força elétrica entre os corpos formam um par ação e reação.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados (pego do enunciado):
    • \mathbf{r}_{1}=(2,3).
    • \mathbf{r}_{2}=(4,6).
    • Q_{1}=+2q.
    • Q_{2}=-q.
    • As coordenadas são adimensionais.
  • Perguntas:
    a) Determinar o vetor força elétrica em cada corpo (força sobre Q_{1} e sobre Q_{2}).
    b) Determinar o módulo (valor) do vetor força em cada corpo.
    c) Fazer uma ilustração no plano cartesiano usando os resultados dos itens a) e b).
    d) Mostrar que os vetores força formam um par ação e reação.

Passo 2

Relembrando e explicando a lei que vamos usar (aula curtinha e prática).
  • A lei de Coulomb, em forma vetorial, dá a força elétrica que uma carga exerce sobre outra. A forma mais prática para trabalhar com vetores posição é:
\mathbf{F}_{1\leftarrow2}=k\,\dfrac{Q_1 Q_2}{\lVert \mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2\rVert^{3}}\,(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2),
onde:
  • \mathbf{F}_{1\leftarrow2} é a força sobre a carga em \mathbf{r}_1 causada pela carga em \mathbf{r}_2.
  • k é a constante eletrostática k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}.
  • Q_1,Q_2 são as cargas.
  • \mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2 é o vetor deslocamento de 2 até 1.
  • \lVert \mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2\rVert é a distância entre as cargas.
  • Interpretação prática: o sinal de Q_1Q_2 determina se a força é de repulsão (produto positivo) ou atração (produto negativo). A fórmula dá já a direção correta por conta do vetor (\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2).

Passo 3

Calcular o vetor deslocamento entre as cargas e a distância entre elas (passo-alguma-certeza).
  • Vetor do ponto 1 para o ponto 2:
\mathbf{r}_{12}=\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1=(4-2,\;6-3)=(2,3).
  • Portanto o vetor de 2 para 1 é \mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2=(-2,-3).
  • Distância entre as cargas:
r\equiv\lVert \mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1\rVert=\sqrt{2^{2}+3^{2}}=\sqrt{13}.
Explicação: para achar a distância entre dois pontos em 2D usamos o teorema de Pitágoras aplicado ao vetor deslocamento.

Passo 4

Analisar o tipo de interação (atração ou repulsão) e o versor (vetor unitário) da direção.
  • Produto das cargas:
Q_1Q_2=(+2q)\cdot(-q)=-2q^{2}<0,
logo a força é de atração (cargas de sinais opostos) — cada carga é puxada na direção da outra.
  • Vetor unitário do ponto 1 para 2 (direção da atração para Q_1):
\hat{\mathbf{r}}_{12}=\dfrac{\mathbf{r}_{12}}{r}=\dfrac{(2,3)}{\sqrt{13}}.
Explicação: um vetor unitário tem módulo 1 e indica apenas direção; é obtido dividindo o vetor deslocamento pela sua norma.

Passo 5

Calcular o módulo (valor numérico simbólico) da força e explicar a fórmula de módulo.
  • Para duas cargas, o módulo da força é
\lvert \mathbf{F}\rvert = k\,\dfrac{\lvert Q_1 Q_2\rvert}{r^{2}}.
Substituindo \lvert Q_1Q_2\rvert = 2 q^{2} e r^{2}=13:
\lvert \mathbf{F}\rvert = k\,\dfrac{2 q^{2}}{13}.
Explicação: r^{2} no denominador porque força eletrostática varia como inverso do quadrado da distância. Aqui deixamos k e q simbólicos porque o enunciado não deu valores numéricos.

Passo 6

Calcular o vetor força sobre Q_{1} (força que Q_{2} exerce em Q_{1}) com componentes explicitados passo a passo.
  • Usamos a forma “módulo vezes direção” (muito prática quando já temos o versor):
\mathbf{F}_{1\leftarrow2}=\lvert \mathbf{F}\rvert\,\hat{\mathbf{r}}_{12}.
  • Substituindo os resultados dos passos anteriores:
\mathbf{F}_{1\leftarrow2}=\left(k\,\dfrac{2 q^{2}}{13}\right)\left(\dfrac{(2,3)}{\sqrt{13}}\right) = k\,\dfrac{2 q^{2}}{13^{3/2}}\,(2,3).
  • Escrevendo as componentes:
\mathbf{F}_{1\leftarrow2}=\left(\dfrac{4k q^{2}}{13^{3/2}},\;\dfrac{6k q^{2}}{13^{3/2}}\right).
Comentário: o sinal positivo nas componentes mostra que a força sobre Q_1 aponta para a direita e para cima — exatamente na direção do ponto (4,6), ou seja, Q_1 é atraída para Q_2.

Passo 7

Calcular o vetor força sobre Q_{2} (força que Q_{1} exerce em Q_{2}) e verificar relação entre eles.
  • Pelo mesmo raciocínio (ou usando simetria), a força sobre Q_2 tem a mesma magnitude e direção contrária:
\mathbf{F}_{2\leftarrow1}=-\mathbf{F}_{1\leftarrow2} =\left(-\dfrac{4k q^{2}}{13^{3/2}},\;-\dfrac{6k q^{2}}{13^{3/2}}\right).
  • Módulo de \mathbf{F}_{2\leftarrow1} é igual a \lvert \mathbf{F}\rvert=k\,\dfrac{2 q^{2}}{13} (mesmo valor do item anterior).
    Explicação física: como as cargas têm sinais opostos, cada uma puxa a outra; as forças são iguais em módulo e opostas em direção.

Passo 8

Instruções práticas para fazer a ilustração pedida no item (c) — um passo a passo para desenhar no plano cartesiano.
  • Desenho sugerido (para traçar à mão ou num software simples):
    1. Marcar o ponto Q_1 em (2,3) e rotulá-lo +2q.
    2. Marcar o ponto Q_2 em (4,6) e rotulá-lo -q.
    3. Traçar o vetor direção \mathbf{r}_{12}=(2,3) a partir de (2,3) apontando para (4,6). Colocar uma seta nessa direção para representar \mathbf{F}_{1\leftarrow2}.
    4. Traçar do ponto (4,6) uma seta na direção oposta (para (2,3)) para representar \mathbf{F}_{2\leftarrow1}.
    5. Se quiser representar proporção de comprimentos, escolha um fator de escala \lambda e desenhe a seta de \mathbf{F}_{1\leftarrow2} com deslocamento \lambda\bigl(\tfrac{4k q^{2}}{13^{3/2}},\tfrac{6k q^{2}}{13^{3/2}}\bigr). Como kq^{2} normalmente é desconhecido, usa-se frequentemente \lambda=1/\bigl(kq^{2}\bigr) ou simplesmente desenha-se vetores unitários na direção correta para indicar sentido.
  • Observação prática: para uma ilustração qualitativa basta desenhar setas na direção entre os pontos; para uma representação quantitativa é preciso escolher uma escala para converter as expressões simbólicas em comprimentos no papel.

Passo 9

Mostrar explicitamente que as forças formam um par ação e reação (lembrete físico e verificação matemática).
  • Pela expressão encontrada:
\mathbf{F}_{1\leftarrow2}=\left(\dfrac{4k q^{2}}{13^{3/2}},\;\dfrac{6k q^{2}}{13^{3/2}}\right), \qquad \mathbf{F}_{2\leftarrow1}=\left(-\dfrac{4k q^{2}}{13^{3/2}},\;-\dfrac{6k q^{2}}{13^{3/2}}\right).
  • Assim:
\mathbf{F}_{2\leftarrow1}=-\mathbf{F}_{1\leftarrow2}.
  • Essa igualdade é exatamente a condição matemática do princípio de ação e reação (terceira lei de Newton) para forças entre duas partículas isoladas: forças opostas, da mesma intensidade e ao longo da linha que une as partículas.

Resposta

a) \displaystyle \mathbf{F}_{1\leftarrow2}=\left(\dfrac{4k q^{2}}{13^{3/2}},\;\dfrac{6k q^{2}}{13^{3/2}}\right),\qquad \mathbf{F}_{2\leftarrow1}=\left(-\dfrac{4k q^{2}}{13^{3/2}},\;-\dfrac{6k q^{2}}{13^{3/2}}\right).
b) \displaystyle |\mathbf{F}_{1\leftarrow2}|=|\mathbf{F}_{2\leftarrow1}|=k\,\dfrac{2 q^{2}}{13}.
c) No plano: marcar Q_1 em (2,3) e Q_2 em (4,6); desenhar uma seta a partir de (2,3) em direção a (4,6) (representando \mathbf{F}_{1\leftarrow2}) e outra seta oposta a partir de (4,6) para (2,3) (representando \mathbf{F}_{2\leftarrow1}).
d) \displaystyle \mathbf{F}_{2\leftarrow1}=-\mathbf{F}_{1\leftarrow2}, logo as forças formam um par ação e reação.

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