Uma barra dielétrica na forma de um cilindro de raio R e comprimento L, direcionada ao longo do eixo x, está polarizada uniformemente com P=P ex. Considerando a origem do sistema de coordenadas no centro do cilindro, mostre que o campo elétrico criado pela barra é
Ee x t & =P2 varepsilon0[x+L / 2raiz(x+L / 2)^2+R^2-x-L / 2raiz(x-L / 2)^2+R^2] Ei n t & =Pvarepsilon0[L2 raizL^2+R^2-1]

Passo 1

O enunciado descreve uma barra dielétrica cilíndrica de raio R e comprimento L, polarizada uniformemente ao longo do eixo x com
P=P,ex,
Queremos calcular o campo elétrico que essa polarização gera, tanto fora da barra ( Eext) quanto dentro dela ( Eint).
Conteúdo necessário:
– Carga ligada volumétrica e superficial em um dielétrico polarizado uniformemente.
– Campo no eixo de um disco com densidade de carga superficial sigma.
– Princípio da superposição para somar os campos das duas faces carregadas.

Passo 2

Como P é uniforme, a carga ligada volumétrica é
rhob=-nablacdotP=0
e a carga ligada superficial em cada face vem de
sigmab=Pcdotn,
Na superfície lateral do cilindro nperpP, logo sigmab=0.
Nas faces x=+L/2 (normal +ex) temos
sigmab^(+)=P,
e na face x=-L/2 (normal -ex)
sigmab^(-)=-P.

Passo 3

O campo no eixo ( x–axis) de um disco de raio R e carga superficial sigma, medido a uma distância z do plano do disco, vale
E(z) =sigma2varepsilon0 l(1-zraizz^2+R^2r)
na direção perpendicular ao disco (afastando-se dele, se sigma>0). Esse resultado pode ser obtido somando anéis carregados ou usando Gauss.

Passo 4

Para um ponto externo, digamos x>L/2, aplicamos superposição das duas faces:
– Face direita ( sigmab^(+)=P em x=L/2), distância até o ponto d1=x-L/2, e o campo aponta no sentido +ex.
E1 =P2varepsilon0 l(1-x-L/2raiz(x-L/2)^2+R^2r)ex
– Face esquerda ( sigmab^(-)=-P em x=-L/2), distância d2=x+L/2. Trata-se de carga negativa, cujo campo no ponto x>L/2 aponta também para +ex menos o sinal de sigma:
E2 =-P2varepsilon0 l(1-x+L/2raiz(x+L/2)^2+R^2r)ex
Somando E1+E2 e simplificando os “1”s, obtemos
Eext =P2varepsilon0 l[ x+L/2raiz(x+L/2)^2+R^2 -x-L/2raiz(x-L/2)^2+R^2 r]ex

Passo 5

Para um ponto interno ( -L/2<x<L/2), as distâncias mudam de sinal, mas procedemos de modo análogo:
– da face direita, com ,d1'=L/2-x, obtém-se
E1'=-tfracP2varepsilon0(1-tfracL/2-xraiz(L/2-x)^2+R^2)ex,
– da face esquerda, com ,d2'=L/2+x, obtém-se
E2'=+tfracP2varepsilon0(1-tfracL/2+xraiz(L/2+x)^2+R^2)ex.
Somando e simplificando, vê-se que o resultado não depende de x e reduz-se a
Eint =Pvarepsilon0 l[L2raizL^2+R^2-1r]ex

Resposta

Eext =P2varepsilon0 l[ x+L/2raiz(x+L/2)^2+R^2 -x-L/2raiz(x-L/2)^2+R^2 r]
Eint =Pvarepsilon0 l[L2raizL^2+R^2-1r]

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