Para a barra do Exercício 20, determinar a expressão matemática que define o campo de deslocamento axial em cada segmento, bem como os deslocamentos em A e B, considerando E=200 \mathrm{GPa}, L_{A B}=1200 \mathrm{~mm} e L_{B C}=1400 \mathrm{~mm}.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • “Determinar a expressão matemática que define o campo de deslocamento axial em cada segmento, bem como os deslocamentos em A e B.”
Informações fornecidas pelo enunciado que chegaram aqui:
  • Módulo de Young: E=200\\ \mathrm{GPa}.
  • Comprimentos: L_{AB}=1200\\ \mathrm{mm} e L_{BC}=1400\\ \mathrm{mm}.
Informações que NÃO foram fornecidas (e que são essenciais para calcular explicitamente o campo de deslocamento e os valores numéricos em A e B):
  • Área(s) da seção transversal: A_{AB} e/ou A_{BC} (se constante ou diferentes).
  • Tipo e intensidade de carregamento axial (força concentrada em C, carregamento distribuído p(x), forças em B, etc.).
  • Condições de contorno (por exemplo: A engastada \Rightarrow u(A)=0? A articulada? C livre?).
  • Se existem descontinuidades geométricas ou materiais (duas áreas, duas seções, conectadas sem folga).
    Sem esses itens não dá para obter valores numéricos únicos. A seguir explico didaticamente como resolver o problema assim que essas informações estiverem claras, e dou as fórmulas gerais.

Passo 2

Princípios básicos e fórmulas que vamos usar (aula rápida e prática).
  • Deslocamento axial: denote por u(x) o deslocamento ao longo do eixo da barra, medido em mm. A deformação axial é a derivada do deslocamento:
\varepsilon(x)=\frac{du}{dx}.
  • Lei constitutiva (Hooke axial para pequena deformação, barra unidimensional):
\sigma(x)=E\,\varepsilon(x)=E\frac{du}{dx},
onde \sigma é tensão axial (N/mm²), E é módulo de Young (N/mm²).
  • Relação entre força axial e tensão:
N(x)=\sigma(x)\,A(x)=E\,A(x)\,\frac{du}{dx},
onde N(x) é a força axial (positiva por convenção) e A(x) a área da seção transversal em mm².
  • Equilíbrio axial (equilíbrio de forças na barra com carregamento distribuído axial p(x) — força por comprimento, N/mm):
\frac{dN}{dx}+p(x)=0.
Significado prático:
  • Se não há forças distribuídas ( p(x)=0), então \frac{dN}{dx}=0 e N é constante em cada peça sem cargas concentradas.
  • Cargas concentradas produzem descontinuidades (saltos) em N na posição da força concentrada.

Passo 3

Como obter o campo de deslocamento a partir de N(x).
  • A partir de N(x)=E A(x)\,du/dx, isolamos du/dx:
\frac{du}{dx}=\frac{N(x)}{E\,A(x)}.
  • Integrando, obtemos o deslocamento relativo entre dois pontos x_0 e x:
u(x)-u(x_0)=\int_{x_0}^{x}\frac{N(s)}{E\,A(s)}\,ds.
Interpretação: para saber u(x) é preciso conhecer N(s) (obtido por equilíbrio) e A(s) (geometria), e um valor de referência u(x_0) vindo da condição de contorno ou compatibilidade.

Passo 4

Casos comuns e fórmulas simples que aparecem em prova (forma prática).
  • Caso 1: seção com área constante A e força axial constante N (sem p(x) nem carregamentos entre as extremidades do segmento). Então
\frac{du}{dx}=\frac{N}{E A}\quad\Rightarrow\quad u(x)=u(x_0)+\frac{N}{E A}(x-x_0),
ou seja, o deslocamento varia linearmente ao longo do segmento.
  • Caso 2: presença de carregamento distribuído p(x)=p_0 constante. Integra-se primeiro \dfrac{dN}{dx}=-p_0 para achar N(x), depois integra-se \dfrac{du}{dx}=N(x)/(E A).
  • Caso 3: força concentrada P em uma seção produce um salto em N: N à direita = N à esquerda menos P (dependendo do sinal). Ao montar expressões por partes, aplicar equilíbrio global para encontrar reações desconhecidas.

Passo 5

Aplicando ao problema em duas partes (AB e BC): expressão geral em cada segmento.
  • Defina um eixo x começando em A e indo para C. Então x=0 em A, x=L_{AB} em B, x=L_{AB}+L_{BC} em C.
  • Suponha que nos segmentos as forças axiais sejam constantes por peça (situação muito comum em provas quando não há carregamento distribuído dentro dos segmentos). Denote:
    • Força axial no segmento AB: N_{AB} (constante).
    • Força axial no segmento BC: N_{BC} (constante).
    • Áreas possivelmente diferentes: A_{AB} e A_{BC}.
  • Então o campo de deslocamento em AB (para 0\le x\le L_{AB}) é, tomando referência u(0)=u_A:
u_{AB}(x)=u_A+\frac{N_{AB}}{E\,A_{AB}}\,x.
  • No segmento BC é conveniente usar coordenada local \xi medida a partir de B: \xi=x-L_{AB}, com 0\le \xi\le L_{BC}. Tomando referência u_B=u_{AB}(L_{AB}):
u_{BC}(\xi)=u_B+\frac{N_{BC}}{E\,A_{BC}}\,\xi.
  • Compatibilidade no nó B impõe:
u_B=u_A+\frac{N_{AB}}{E\,A_{AB}}\,L_{AB}.
  • Para fechar o problema e obter N_{AB}, N_{BC} e u_A numericamente, deve-se aplicar:
    1. Equilíbrio global (somatório de forças externas + reações = 0).
    2. Condições de contorno (por exemplo u_A=0 se A for engastada).
    3. Continuidade em B já usada acima.
    4. Se houver ligação entre AB e BC com folga ou contato não-linear, o procedimento muda (mas normalmente em prova é contínuo).

Passo 6

Exemplo didático (para fixar a ideia): barra com mesma área A, A engastada ( u_A=0), e força concentrada P aplicada em C para tração.
  • Dados fictícios para ilustrar cálculo (NÃO faz parte da resposta final, apenas para exemplificar o procedimento):
    • Suponha área constante A=2000\\ \mathrm{mm}^2 e uma força de tração P=10\\ \mathrm{kN}=10000\\ \mathrm{N} aplicada em C puxando para a direita.
  • Equilíbrio: a força axial em ambos os segmentos será N_{AB}=N_{BC}=-P (sinal dependendo da convenção; aqui negativo se tração for tomada como negativa).
  • Campo no segmento AB:
u_{AB}(x)=0+\frac{(-P)}{E A}x=-\frac{P}{E A}\,x.
  • Em B (usando x=L_{AB}):
u_B=-\frac{P}{E A}\,L_{AB}.
  • Em C (usando \xi=L_{BC}):
u_C=u_B-\frac{P}{E A}\,L_{BC}=-\frac{P}{E A}(L_{AB}+L_{BC}).
  • Substituindo números deste exemplo daria deslocamentos numéricos; no entanto, isto só é válido para este cenário hipotético.

Passo 7

Resumo prático do que você precisa entregar para que eu (ou você na prova) consiga calcular valores numéricos finais:
  • Informe a(s) área(s) A_{AB} e A_{BC} (ou diga que a barra tem área constante A).
  • Informe todas as cargas axiais: forças concentradas (ex.: P em C ou em B), carregamentos distribuídos p(x) se houver, e seus sentidos.
  • Informe as condições de contorno (por exemplo u_A=0 se A for engastada).
    Com essas informações eu consigo montar as equações de equilíbrio, encontrar N_{AB} e N_{BC}, integrar e dar as expressões numéricas de u(x), u(A) e u(B).

Resposta

Não é possível determinar numericamente o campo de deslocamento e os deslocamentos em A e B porque faltam informações essenciais: áreas das seções ( A_{AB},A_{BC}), carregamentos axiais (forças concentradas ou distribuídas) e condições de contorno. Em termos gerais, assumindo forças axiais constantes por segmento N_{AB} e N_{BC} e áreas A_{AB} e A_{BC}, as expressões são:
u_{AB}(x)=u_A+\frac{N_{AB}}{E\,A_{AB}}\,x,\quad 0\le x\le L_{AB},
u_{BC}(\xi)=u_B+\frac{N_{BC}}{E\,A_{BC}}\,\xi,\quad 0\le \xi\le L_{BC},
com
u_B=u_A+\frac{N_{AB}}{E\,A_{AB}}\,L_{AB}.
Os valores numéricos de u_A, u_B, N_{AB} e N_{BC} devem ser obtidos impondo equilíbrio e as condições de contorno específicas do enunciado.

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