Para a barra do Exercício 20, determinar a expressão matemática que define o campo de deslocamento axial em cada segmento, bem como os deslocamentos em
e
, considerando
,
e
.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- “Determinar a expressão matemática que define o campo de deslocamento axial em cada segmento, bem como os deslocamentos em
e .”
Informações fornecidas pelo enunciado que chegaram aqui:
- Módulo de Young:
. - Comprimentos:
e .
Informações que NÃO foram fornecidas (e que são essenciais para calcular explicitamente o campo de deslocamento e os valores numéricos em
e
):
- Área(s) da seção transversal:
e/ou (se constante ou diferentes). - Tipo e intensidade de carregamento axial (força concentrada em
, carregamento distribuído , forças em , etc.). - Condições de contorno (por exemplo:
engastada ? articulada? livre?). - Se existem descontinuidades geométricas ou materiais (duas áreas, duas seções, conectadas sem folga).
Sem esses itens não dá para obter valores numéricos únicos. A seguir explico didaticamente como resolver o problema assim que essas informações estiverem claras, e dou as fórmulas gerais.
Passo 2
Princípios básicos e fórmulas que vamos usar (aula rápida e prática).
- Deslocamento axial: denote por
o deslocamento ao longo do eixo da barra, medido em mm. A deformação axial é a derivada do deslocamento:
- Lei constitutiva (Hooke axial para pequena deformação, barra unidimensional):
onde
é tensão axial (N/mm²),
é módulo de Young (N/mm²).
- Relação entre força axial e tensão:
onde
é a força axial (positiva por convenção) e
a área da seção transversal em mm².
- Equilíbrio axial (equilíbrio de forças na barra com carregamento distribuído axial
— força por comprimento, N/mm):
Significado prático:
- Se não há forças distribuídas (
), então e é constante em cada peça sem cargas concentradas. - Cargas concentradas produzem descontinuidades (saltos) em
na posição da força concentrada.
Passo 3
Como obter o campo de deslocamento a partir de
.
- A partir de
, isolamos :
- Integrando, obtemos o deslocamento relativo entre dois pontos
e :
Interpretação: para saber
é preciso conhecer
(obtido por equilíbrio) e
(geometria), e um valor de referência
vindo da condição de contorno ou compatibilidade.
Passo 4
Casos comuns e fórmulas simples que aparecem em prova (forma prática).
- Caso 1: seção com área constante
e força axial constante (sem nem carregamentos entre as extremidades do segmento). Então
ou seja, o deslocamento varia linearmente ao longo do segmento.
- Caso 2: presença de carregamento distribuído
constante. Integra-se primeiro para achar , depois integra-se . - Caso 3: força concentrada
em uma seção produce um salto em : à direita = à esquerda menos (dependendo do sinal). Ao montar expressões por partes, aplicar equilíbrio global para encontrar reações desconhecidas.
Passo 5
Aplicando ao problema em duas partes (AB e BC): expressão geral em cada segmento.
- Defina um eixo
começando em e indo para . Então em , em , em . - Suponha que nos segmentos as forças axiais sejam constantes por peça (situação muito comum em provas quando não há carregamento distribuído dentro dos segmentos). Denote:
- Força axial no segmento
: (constante). - Força axial no segmento
: (constante). - Áreas possivelmente diferentes:
e .
- Força axial no segmento
- Então o campo de deslocamento em
(para ) é, tomando referência :
- No segmento
é conveniente usar coordenada local medida a partir de : , com . Tomando referência :
- Compatibilidade no nó
impõe:
- Para fechar o problema e obter
, e numericamente, deve-se aplicar: - Equilíbrio global (somatório de forças externas + reações = 0).
- Condições de contorno (por exemplo
se for engastada). - Continuidade em
já usada acima. - Se houver ligação entre
e com folga ou contato não-linear, o procedimento muda (mas normalmente em prova é contínuo).
Passo 6
Exemplo didático (para fixar a ideia): barra com mesma área
,
engastada (
), e força concentrada
aplicada em
para tração.
- Dados fictícios para ilustrar cálculo (NÃO faz parte da resposta final, apenas para exemplificar o procedimento):
- Suponha área constante
e uma força de tração aplicada em puxando para a direita.
- Suponha área constante
- Equilíbrio: a força axial em ambos os segmentos será
(sinal dependendo da convenção; aqui negativo se tração for tomada como negativa). - Campo no segmento
:
- Em
(usando ):
- Em
(usando ):
- Substituindo números deste exemplo daria deslocamentos numéricos; no entanto, isto só é válido para este cenário hipotético.
Passo 7
Resumo prático do que você precisa entregar para que eu (ou você na prova) consiga calcular valores numéricos finais:
- Informe a(s) área(s)
e (ou diga que a barra tem área constante ). - Informe todas as cargas axiais: forças concentradas (ex.:
em ou em ), carregamentos distribuídos se houver, e seus sentidos. - Informe as condições de contorno (por exemplo
se for engastada).
Com essas informações eu consigo montar as equações de equilíbrio, encontrare , integrar e dar as expressões numéricas de , e .
Resposta
Não é possível determinar numericamente o campo de deslocamento e os deslocamentos em
e
porque faltam informações essenciais: áreas das seções (
), carregamentos axiais (forças concentradas ou distribuídas) e condições de contorno. Em termos gerais, assumindo forças axiais constantes por segmento
e
e áreas
e
, as expressões são:
com
Os valores numéricos de
,
,
e
devem ser obtidos impondo equilíbrio e as condições de contorno específicas do enunciado.