Uma barra de ferro, de 8 m de comprimento e 0,7 \mathrm{~cm}^{2} de seção transversal, é esticada de 0,9 mm quando uma massa de 200 kg é pendurada em sua extremidade inferior. Calcule o módulo de Young para o ferro

Passo 1

O enunciado dá uma barra de ferro com comprimento, área de seção e alongamento quando uma massa é pendurada, e pede o módulo de Young. As informações relevantes são:
  • comprimento da barra: L = 8\\ \mathrm{m};
  • área da seção transversal: A = 0{,}7\\ \mathrm{cm}^2;
  • alongamento observado: \Delta L = 0{,}9\\ \mathrm{mm};
  • massa pendurada: m = 200\\ \mathrm{kg}.
    A pergunta é: calcular o módulo de Young do ferro (isto é, o valor numérico de E em unidades apropriadas).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida e direta).
  • O módulo de Young E mede a rigidez do material e é definido como a razão entre tensão (stress) e deformação (strain):
E=\frac{\text{tensão}}{\text{deformação}}.ãçã
  • A tensão é a força por unidade de área:
\text{tensão}=\frac{F}{A},ã
onde F é a força aplicada (no nosso caso o peso da massa) e A é a área da seção.
  • A deformação (de extensão axial) é a variação relativa do comprimento:
\text{deformação}=\frac{\Delta L}{L},çã
onde \Delta L é o alongamento e L é o comprimento original.
  • Combinando, obtemos a fórmula prática que usaremos:
E=\frac{F/A}{\Delta L/L}=\frac{F\,L}{A\,\Delta L}.
Aqui F será o peso F=m g, com g a aceleração da gravidade. Vou usar g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2} (valor padrão).

Passo 3

Converter todas as quantidades para unidades do SI (m, m^2, N, m).
  • Área: 1\\ \mathrm{cm}^2 = 10^{-4}\\ \mathrm{m}^2. Logo
A = 0{,}7\\ \mathrm{cm}^2 = 0{,}7\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2 = 7{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^2.
  • Alongamento: 1\\ \mathrm{mm}=10^{-3}\\ \mathrm{m}. Logo
\Delta L = 0{,}9\\ \mathrm{mm} = 0{,}9\times10^{-3}\\ \mathrm{m} = 9{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento já está em SI: L=8\\ \mathrm{m}.
  • Massa já está em SI: m=200\\ \mathrm{kg}.

Passo 4

Calcular a força F (peso) exercida pela massa.
  • Fórmula: F=m g. Substituindo:
F = 200\\ \mathrm{kg}\times 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2} = 1962\\ \mathrm{N}.
(Arredondei para inteiro por ser exato no produto dos dados; se preferir pode manter 1962{,}0\\ \mathrm{N}.)

Passo 5

Aplicar a fórmula de Young:
E=\frac{F\,L}{A\,\Delta L}.
Substituindo os valores (todos já em unidades do SI):
E=\frac{1962\\ \mathrm{N}\times 8{,}0\\ \mathrm{m}}{(7{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^2)\times(9{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m})}.

Passo 6

Fazer as contas passo a passo (sem pular etapas).
  • Primeiro o numerador:
F\,L = 1962\times 8 = 15696\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • Depois o denominador (multiplicando as potências de dez separadamente):
A\,\Delta L = (7{,}0\times10^{-5})\times(9{,}0\times10^{-4}) = (7{,}0\times9{,}0)\times10^{-5-4}.
7{,}0\times9{,}0 = 63{,}0,
10^{-5-4}=10^{-9},
logo
A\,\Delta L = 63{,}0\times10^{-9}\\ \mathrm{m^3} = 6{,}3\times10^{-8}\\ \mathrm{m^3}.
  • Agora dividir:
E=\frac{15696}{6{,}3\times10^{-8}}\\ \mathrm{Pa}.
Para simplificar, faça a divisão em duas etapas:
\frac{15696}{6{,}3} \approx 2491{,}428571\ldots
e multiplicando pela potência:
E \approx 2491{,}428571\times10^{8}\\ \mathrm{Pa} = 2{,}491428571\times10^{11}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 7

Arredondamento e interpretação do resultado (para uso na prova).
  • É comum expressar E em gigapascal ( \mathrm{GPa}), onde 1\\ \mathrm{GPa}=10^{9}\\ \mathrm{Pa}.
E \approx 2{,}49\times10^{11}\\ \mathrm{Pa} = 249\\ \mathrm{GPa}.
  • Comentário amigo: esse valor está na ordem de grandeza esperada para metais rígidos (aço/ferro têm valor típico algumas centenas de \mathrm{GPa}). Fique tranquilo — o procedimento foi o seguinte: converter unidades, calcular peso F, aplicar E=FL/(A\Delta L) e cuidar das potências de dez.

Resposta

E \approx 2{,}49\times10^{11}\\ \mathrm{Pa} = 249\\ \mathrm{GPa}

Exercícios relacionados