Forças verticais, para baixo, de 50 N e 35 N , respectivamente, são necessárias para manter um bloco plástico totalmente imerso em água e em óleo. Se o volume do bloco é de 5000 \mathrm{~cm}^{3}, calcule a densidade do óleo.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Dados do enunciado:
    • Força vertical aplicada para baixo necessária para manter o bloco totalmente imerso em água: 50\\ \mathrm{N}.
    • Força vertical aplicada para baixo necessária para manter o bloco totalmente imerso em óleo: 35\\ \mathrm{N}.
    • Volume do bloco: 5000\\ \mathrm{cm^3}.
  • O que é pedido:
    • Calcular a densidade do óleo.

Passo 2

Entendendo as forças que atuam no bloco (aula rápida e prática):
  • Força peso do bloco: W (atua para baixo). É dada por W = m_{\text{bloco}}\,g, mas não precisamos calcular m_{\text{bloco}} diretamente.
  • Força de empuxo (Archimedes): B (atua para cima). Regra de Archimedes: o empuxo vale o peso do fluido deslocado, isto é
B = \rho_{\text{fluido}} \, V \, g,
onde:
  • \rho_{\text{fluido}} é a densidade do fluido (kg/m^3),
  • V é o volume do corpo imerso (m^3),
  • g é a aceleração da gravidade (m/s^2).
  • Força externa aplicada para baixo para manter o bloco submerso: chamemos de P (em N).
Equilíbrio vertical (quando o bloco está imóvel submerso): somando forças com sentido para cima positivo,
B - W - P = 0.
Logo, a força que precisamos aplicar para baixo é
P = B - W.
Interpretação física: se o empuxo é maior que o peso, o bloco tende a subir e precisamos empurrar para baixo; P é essa diferença.

Passo 3

Escrevendo as equações para os dois fluidos (água e óleo):
  • Em água:
P_{\text{água}} = B_{\text{água}} - W.áá
Como dado P_{\text{água}} = 50\\ \mathrm{N}á.
  • Em óleo:
P_{\text{óleo}} = B_{\text{óleo}} - W.óó
Como dado P_{\text{óleo}} = 35\\ \mathrm{N}ó.
Subtraindo a equação do óleo da da água para eliminar W:
P_{\text{água}} - P_{\text{óleo}} = B_{\text{água}} - B_{\text{óleo}}.áóáó
Usando Archimedes em cada empuxo:
B_{\text{água}} - B_{\text{óleo}} = \bigl(\rho_{\text{água}} - \rho_{\text{óleo}}\bigr)\,V\,g.áóáó
Portanto:
P_{\text{água}} - P_{\text{óleo}} = \bigl(\rho_{\text{água}} - \rho_{\text{óleo}}\bigr)\,V\,g.áóáó
Desse último isolamos \rho_{\text{óleo}}ó:
\rho_{\text{óleo}} = \rho_{\text{água}} - \frac{P_{\text{água}} - P_{\text{óleo}}}{V g}.óááó

Passo 4

Agora vamos substituir valores numéricos (usando unidades SI):
  • Volume: 5000\\ \mathrm{cm^3} = 5000\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^3} = 5\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^3}.
  • Densidade da água: normalmente usamos \rho_{\text{água}} = 1000\\ \mathrm{kg/m^3}á.
  • Diferença de forças: P_{\text{água}} - P_{\text{óleo}} = 50 - 35 = 15\\ \mathrm{N}áó.
  • Gravidade: g = 9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}.
Calcule o termo \dfrac{P_{\text{água}} - P_{\text{óleo}}}{V g}áó:
V g = \bigl(5\times 10^{-3}\bigr)\times 9{,}8 = 0{,}049\\ \text{(unidade: m^3·m/s^2 = N·s^2/kg, mas numericamente serve para a divisão)}.ã
\frac{15}{V g} = \frac{15}{0{,}049} \approx 306{,}12\\ \mathrm{kg/m^3}.

Passo 5

Agora a densidade do óleo:
\rho_{\text{óleo}} = 1000 - 306{,}12 \approx 693{,}88\\ \mathrm{kg/m^3}.ó
Arredondando de forma conveniente (três algarismos significativos) temos \rho_{\text{óleo}}\approx 694\\ \mathrm{kg/m^3}ó.

Resposta

694\\ \mathrm{kg/m^3}

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