Uma barra fina, com comprimento de 12 cm , está carregada uniformemente com densidade linear de carga \lambda=10^{-7} \mathrm{Cm}^{-1}. Num ponto situado a 10 cm de uma das extremidades da barra, encontra-se uma carga pontual de 0,01 \mu \mathrm{C}. Calcule a força electrostática entre a barra e a carga pontual.

Passo 1

O enunciado dá uma barra homogênea de comprimento L=12\\ \mathrm{cm}=0{,}12\\ \mathrm{m} com densidade linear de carga \lambda=10^{-7}\\ \mathrm{C/m}, e uma carga pontual q=0,01\\ \mu\mathrm{C}=1\times10^{-8}\\ \mathrm{C} situada a uma distância a=10\\ \mathrm{cm}=0{,}10\\ \mathrm{m} de uma das extremidades da barra. Pede-se a força eletrostática de interação. Para resolver, vamos usar a Lei de Coulomb e integrar sobre os infinitesimais da barra.

Passo 2

Vamos escolher um eixo x de modo que a barra ocupe o segmento de x=0 a x=L e a carga pontual esteja em x=-a. Um elemento de comprimento dx na posição x contém carga infinitesimal
dq = \lambda\,dx.

Passo 3

Cada dq exerce na carga q uma força de módulo
dF = k\,\frac{q\,dq}{r^{2}}
onde r é a distância entre dq e q. Aqui r = x - (-a) = x + a. Substituindo dq e r,
dF = k\,\frac{q\,\lambda\,dx}{(x + a)^{2}}.
Como todas as cargas são positivas, a força é de repulsão e aponta no sentido negativo de x, mas no módulo a integral é

Passo 4

F = \int_{0}^{L} dF = k\,q\,\lambda \int_{0}^{L} \frac{dx}{(x + a)^{2}} = k\,q\,\lambda \Bigl[-\frac{1}{x + a}\Bigr]_{0}^{L} = k\,q\,\lambda \Bigl(\frac{1}{a} - \frac{1}{L + a}\Bigr).

Passo 5

Agora substituímos os valores numéricos:
k = 8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}},\quad q = 1\times10^{-8}\\ \mathrm{C},\quad \lambda = 1\times10^{-7}\\ \mathrm{C/m},\quad a = 0{,}10\\ \mathrm{m},\quad L = 0{,}12\\ \mathrm{m}.
Então
F = 8{,}99\times10^{9}\times(1\times10^{-8})\times(1\times10^{-7}) \Bigl(\frac{1}{0{,}10} - \frac{1}{0{,}22}\Bigr) \approx 4{,}9\times10^{-5}\\ \mathrm{N}.

Resposta

A força de repulsão tem módulo
F \approx 4{,}9\times10^{-5}\\ \mathrm{N},
e atua afastando a carga pontual da barra.

Exercícios relacionados