Considere um campo eléctrico produzido por uma carga pontual desconhecida localizada numa posição desconhecida ao longo do eixo x. Sabendo que o campo eléctrico medido em dois pontos diferentes, x_{1}= 5,00 \mathrm{~cm} \mathrm{e} x_{2}=10,0 \mathrm{~cm}, aponta sempre na direção positiva do eixo x, e que a intensidade do campo no ponto x_{1} é E_{1}=10,0 \mathrm{NC}^{-1} e no ponto x_{2} é E_{2}=15,0 \mathrm{NC}^{-1}, determine:
(a) A posição da carga pontual ao longo do eixo x.
(b) O valor da carga q, incluindo o seu sinal.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma carga pontual q em posição desconhecida x_q sobre o eixo x. Medimos o campo elétrico em dois pontos: \quad x_{1}=5{,}00\text{ cm}, com E_{1}=10{,}0\text{ N/C} apontando para +\hat x, \quad x_{2}=10{,}0\text{ cm}, com E_{2}=15{,}0\text{ N/C} também em +\hat x.
O que vamos usar: a lei de Coulomb para campo elétrico de carga pontual
E(x)=k\,\frac{q}{(x - x_{q})^{2}}
com k=8{,}99\times10^{9}\text{ N\cdotm}^2\!/\text{C}^2, levando em conta o sinal de q e o sentido do vetor.

Passo 2

Determinar a posição relativa e o sinal de q:
  • O campo em ambos os pontos aponta para +\hat x.
  • Se q>0, o campo estaria sempre apontando para fora da carga; para dar +\hat x em x_{1}=5 cm e x_{2}=10 cm, teria de ser x_{q}<5 cm.
  • Se q<0, o campo aponta para a carga; para dar +\hat x em x_{1} e x_{2} precisa que x_{q}>10 cm.
    Agora veja as magnitudes: em x_{1} o campo é menor 10 que em x_{2} 15, logo a distância até a carga em x_{1} é maior que em x_{2}. Isso só ocorre se x_{q} estiver à direita de x_{2}. Logo q<0 e x_{q}>10 cm.

Passo 3

Usar a razão dos campos para eliminar q e achar x_{q}. Seja
d_{1}=x_{q}-x_{1},\quad d_{2}=x_{q}-x_{2}.
Então
E_{1}=k\frac{|q|}{d_{1}^{2}},\qquad E_{2}=k\frac{|q|}{d_{2}^{2}}
e
\frac{E_{1}}{E_{2}} =\frac{d_{2}^{2}}{d_{1}^{2}} \;\Longrightarrow\; \sqrt{\frac{E_{1}}{E_{2}}} =\frac{d_{2}}{d_{1}} =\frac{x_{q}-x_{2}}{x_{q}-x_{1}}.

Passo 4

Substituindo E_{1}=10, E_{2}=15, x_{1}=0{,}05 m e x_{2}=0{,}10 m:
r=\sqrt{\frac{10}{15}}=\sqrt{\tfrac{2}{3}}\approx0{,}8165,
x_{q}-0{,}10 = r\,(x_{q}-0{,}05) \;\Longrightarrow\; x_{q}-0{,}10 =0{,}8165\,x_{q}-0{,}0408
x_{q}(1-0{,}8165)=0{,}10-0{,}0408 \;\Longrightarrow\; x_{q}\approx\frac{0{,}0592}{0{,}1835}\approx0{,}3226\text{ m}
ou seja x_{q}\approx32{,}3 cm.

Passo 5

Para achar q, use E_{2}=15{,}0 N/C em x_{2}. A distância é
d_{2}=x_{q}-x_{2}=0{,}3226-0{,}10=0{,}2226\text{ m}.
Logo
|q| =\frac{E_{2}\,d_{2}^{2}}{k} =\frac{15{,}0\,(0{,}2226)^{2}}{8{,}99\times10^{9}} \approx8{,}27\times10^{-11}\text{ C}.
Sabendo que o campo aponta para a carga, concluímos que q<0.

Resposta

(a) x_{q}\approx32{,}3\text{ cm}.
(b) q\approx-8{,}27\times10^{-11}\text{ C}.

Exercícios relacionados