Uma barra fina, de comprimento L, está fixa sobre o eixo O X de um dado sistema de coordenadas com uma de suas extremidades na origem e a outra em x=L. Essa barra possui densidade linear de cargas variável, dada pela expressão lambda=lambda0(1-3 xL), com lambda0>0 sendo uma constante. O que podemos afirmar sobre a carga total Qtot contida na barra e o campo elétrico EP gerado pela barra em um ponto P situado sobre o eixo O X em uma posição x=3 L?
Escolha uma opção:
Qt o t>0 e EP aponta no sentido -x.
Q tot >0 e Ep é nulo.
Q tot =0 e EP aponta no sentido +x.
Qt o t<0 e EP aponta no sentido -x.
Q tot <0 e EP aponta no sentido +x.
Qt o t=0 e EP aponta no sentido -x.
Qt o t=0 e EP é nulo.
Qt o t<0 e EP é nulo.
Qt o t>0 e EP aponta no sentido +x.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma barra fina de comprimento $ L $ fixa no eixo $ OX $, com uma densidade linear de carga que varia ao longo da barra. A densidade é dada por:
L
onde $ \lambda_0 > 0 $ é uma constante. Precisamos descobrir duas coisas:
  1. A carga total $ Q_{tot} $ na barra.
  2. O campo elétrico $ \vec{E}_P $ em um ponto $ P $ localizado no eixo $ OX $ a $ x = 3L $.
Para resolver, vamos usar conceitos de cálculo integral para encontrar a carga total e o campo elétrico gerado por uma distribuição contínua de carga.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a carga total $ Q_{tot} $ na barra. A carga total é a integral da densidade linear de carga ao longo do comprimento da barra:
Qtot
Substituindo $ \lambda(x) $:
Qtot = integral0^L lambda(x) , dx

Passo 3

Vamos resolver a integral:
Qtot = lambda0 [ integral0^L 1 , dx - 3L integral0^L x , dx ]
Calculando cada parte:
integral0^L 1 , dx = L
integral0^L x , dx = L^22
Substituindo de volta:
Qtot = lambda0 [ L - 3L cdot L^22 ] = lambda0 [ L - 3L2 ] = lambda0 ( -L2 ) = -lambda0 L2
Então, a carga total $ Q_{tot} $ é negativa.

Passo 4

Agora, vamos calcular o campo elétrico $ \vec{E}_P $ no ponto $ P $ a $ x = 3L $. O campo devido a um elemento de carga $ dq $ localizado em $ x $ é dado por:
EP
Como a carga é ao longo do eixo $ OX $, o campo resultante será na direção $ +\hat{x} $ ou $ -\hat{x} $, dependendo do sinal de $ dq $. Mas como $ Q_{tot} $ é negativo, o campo apontará na direção oposta, ou seja, $ -\hat{x} $.

Resposta

$ Q_{tot} < 0 $ e $ \vec{E}_{P} $ aponta no sentido $ -\hat{\boldsymbol{x}} $.

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