Uma barra fina, de comprimento
, está fixa sobre o eixo
de um dado sistema de coordenadas com uma de suas extremidades na origem e a outra em
. Essa barra possui densidade linear de cargas variável, dada pela expressão
, com
sendo uma constante. O que podemos afirmar sobre a carga total
contida na barra e o campo elétrico
gerado pela barra em um ponto
situado sobre o eixo
em uma posição
?
Escolha uma opção:
e
aponta no sentido
.
e
é nulo.
e
aponta no sentido
.
e
aponta no sentido
.
e
aponta no sentido
.
e
aponta no sentido
.
e
é nulo.
e
é nulo.
e
aponta no sentido
.
Escolha uma opção:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma barra fina de comprimento $ L $ fixa no eixo $ OX $, com uma densidade linear de carga que varia ao longo da barra. A densidade é dada por:
onde $ \lambda_0 > 0 $ é uma constante. Precisamos descobrir duas coisas:
- A carga total $ Q_{tot} $ na barra.
- O campo elétrico $ \vec{E}_P $ em um ponto $ P $ localizado no eixo $ OX $ a $ x = 3L $.
Para resolver, vamos usar conceitos de cálculo integral para encontrar a carga total e o campo elétrico gerado por uma distribuição contínua de carga.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a carga total $ Q_{tot} $ na barra. A carga total é a integral da densidade linear de carga ao longo do comprimento da barra:
Substituindo $ \lambda(x) $:
Passo 3
Vamos resolver a integral:
Calculando cada parte:
Substituindo de volta:
Então, a carga total $ Q_{tot} $ é negativa.
Passo 4
Agora, vamos calcular o campo elétrico $ \vec{E}_P $ no ponto $ P $ a $ x = 3L $. O campo devido a um elemento de carga $ dq $ localizado em $ x $ é dado por:
Como a carga é ao longo do eixo $ OX $, o campo resultante será na direção $ +\hat{x} $ ou $ -\hat{x} $, dependendo do sinal de $ dq $. Mas como $ Q_{tot} $ é negativo, o campo apontará na direção oposta, ou seja, $ -\hat{x} $.
Resposta
$ Q_{tot} < 0 $ e $ \vec{E}_{P} $ aponta no sentido $ -\hat{\boldsymbol{x}} $.