Uma barra fina de comprimento
possui densidade linear de massa que varia segundo
, onde
e
é medido a partir de uma extremidade. Determine a posição do centro de massa.
Passo 1
O enunciado pede a posição do centro de massa de uma barra de comprimento
cuja densidade linear varia com a posição segundo
. As informações dadas são:
e
é medido a partir de uma extremidade (logo a barra vai de
até
). O que se pede é a coordenada
do centro de massa medida a partir dessa mesma extremidade.
Passo 2
Vamos entender a fórmula que usamos e o significado de cada termo (aula rapidinha e prática). Para um corpo contínuo unidimensional com densidade linear
, um pequeno pedaço de massa localizado entre
e
tem massa
O centro de massa é a média ponderada das posições, dada por
onde
é a massa total:
Explico as integrais: estamos somando contribuições infinitesimais
(posição vezes massa pequena) em toda a barra; dividir por
dá a posição média ponderada.
Passo 3
Calcular a massa total
. Substituímos
:
Integramos termo a termo usando as regras básicas
e
:
Somando as parcelas:
Agora substituímos os valores numéricos
e
:
Passo 4
Calcular o numerador
. Substituindo
:
Integramos termo a termo usando
e
:
Simplificando:
Logo o numerador é
Passo 5
Agora montamos
:
Cancelamos
(aparece no numerador e no denominador) e simplificamos fatores de
:
Substituindo
:
Comentário amigo: faz sentido que o centro de massa esteja à direita do meio (
), porque a densidade aumenta com
, ou seja, há mais massa na região próxima da extremidade
.