Uma barra fina de comprimento L=2 m possui densidade linear de massa que varia segundo \lambda(x)=\lambda_{0}{ }^{*}(1 +x / L), onde \lambda_{0}=3 \mathrm{~kg} / \mathrm{m} e x é medido a partir de uma extremidade. Determine a posição do centro de massa.

Passo 1

O enunciado pede a posição do centro de massa de uma barra de comprimento L=2\\ \mathrm{m} cuja densidade linear varia com a posição segundo \lambda(x)=\lambda_{0}\,(1+x/L). As informações dadas são:
\lambda(x)=\lambda_{0}\left(1+\frac{x}{L}\right),\qquad \lambda_{0}=3\\ \mathrm{kg/m},\qquad L=2\\ \mathrm{m},
e x é medido a partir de uma extremidade (logo a barra vai de x=0 até x=L). O que se pede é a coordenada x_{\text{cm}} do centro de massa medida a partir dessa mesma extremidade.

Passo 2

Vamos entender a fórmula que usamos e o significado de cada termo (aula rapidinha e prática). Para um corpo contínuo unidimensional com densidade linear \lambda(x), um pequeno pedaço de massa localizado entre x e x+dx tem massa
dm=\lambda(x)\,dx.
O centro de massa é a média ponderada das posições, dada por
x_{\text{cm}}=\frac{1}{M}\int_{0}^{L} x\,dm=\frac{1}{M}\int_{0}^{L} x\,\lambda(x)\,dx,
onde M é a massa total:
M=\int_{0}^{L} dm=\int_{0}^{L}\lambda(x)\,dx.
Explico as integrais: estamos somando contribuições infinitesimais x\,dm (posição vezes massa pequena) em toda a barra; dividir por M dá a posição média ponderada.

Passo 3

Calcular a massa total M. Substituímos \lambda(x):
M=\int_{0}^{L}\lambda_{0}\left(1+\frac{x}{L}\right)\,dx=\lambda_{0}\int_{0}^{L}\left(1+\frac{x}{L}\right)\,dx.
Integramos termo a termo usando as regras básicas \int 1\,dx=x e \int x\,dx=x^{2}/2:
M=\lambda_{0}\left[\;x+\frac{x^{2}}{2L}\;\right]_{0}^{L}=\lambda_{0}\left(L+\frac{L^{2}}{2L}\right)=\lambda_{0}\left(L+\frac{L}{2}\right).
Somando as parcelas:
M=\lambda_{0}\cdot\frac{3L}{2}.
Agora substituímos os valores numéricos \lambda_{0}=3\\ \mathrm{kg/m} e L=2\\ \mathrm{m}:
M=\frac{3}{2}\cdot\lambda_{0}L=\frac{3}{2}\cdot 3\cdot 2=9\\ \mathrm{kg}.

Passo 4

Calcular o numerador \displaystyle\int_{0}^{L} x\,\lambda(x)\,dx. Substituindo \lambda(x):
\int_{0}^{L} x\,\lambda(x)\,dx=\lambda_{0}\int_{0}^{L} x\left(1+\frac{x}{L}\right)\,dx=\lambda_{0}\int_{0}^{L}\left(x+\frac{x^{2}}{L}\right)\,dx.
Integramos termo a termo usando \int x\,dx=x^{2}/2 e \int x^{2}\,dx=x^{3}/3:
\int_{0}^{L}\left(x+\frac{x^{2}}{L}\right)\,dx=\left[\frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{L}\cdot\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{L}=\frac{L^{2}}{2}+\frac{1}{L}\cdot\frac{L^{3}}{3}.
Simplificando:
\frac{L^{2}}{2}+\frac{L^{2}}{3}=L^{2}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)=L^{2}\cdot\frac{5}{6}.
Logo o numerador é
\int_{0}^{L} x\,\lambda(x)\,dx=\lambda_{0}\,L^{2}\cdot\frac{5}{6}.

Passo 5

Agora montamos x_{\text{cm}}:
x_{\text{cm}}=\frac{1}{M}\int_{0}^{L} x\,\lambda(x)\,dx=\frac{\lambda_{0}\,L^{2}\cdot\frac{5}{6}}{\frac{3}{2}\,\lambda_{0}L}.
Cancelamos \lambda_{0} (aparece no numerador e no denominador) e simplificamos fatores de L:
x_{\text{cm}}=\frac{\frac{5}{6}L^{2}}{\frac{3}{2}L}=\frac{5}{6}\cdot\frac{2}{3}\,L=\frac{10}{18}\,L=\frac{5}{9}\,L.
Substituindo L=2\\ \mathrm{m}:
x_{\text{cm}}=\frac{5}{9}\cdot 2=\frac{10}{9}\\ \mathrm{m}\approx 1{,}11\\ \mathrm{m}.
Comentário amigo: faz sentido que o centro de massa esteja à direita do meio ( 1\\ \mathrm{m}), porque a densidade aumenta com x, ou seja, há mais massa na região próxima da extremidade x=L.

Resposta

\displaystyle x_{\text{cm}}=\frac{10}{9}\\ \mathrm{m}

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