Uma placa retangular de dimensões a
e
possui densidade superficial
, onde
. Determine a coordenada
do centro de massa, considerando um canto como origem.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados temos:
- Pede-se a coordenada
do centro de massa da placa. - A placa é retangular com dimensões
(no sentido ) e (no sentido ). - A densidade superficial é
com . - A origem
está em um canto da placa; portanto o domínio de integração é . - Objetivo final: achar
do centro de massa (isto é, ) medido a partir da origem indicada.
Passo 2
Fórmulas gerais e explicação didática do que vamos calcular:
- A massa total
de uma placa com densidade superficial é dada por
Aqui
é o elemento de área; em coordenadas retangulares
. O domínio
é o retângulo
.
- A coordenada
do centro de massa é a média ponderada pela densidade:
Explicando: no numerador somamos (integramos) a contribuição
multiplicada pela densidade em cada ponto; no denominador normalizamos dividindo pela massa total.
- Como
não depende de , a integração em simplesmente multiplica por . Vamos usar as integrais iteradas com limites e .
Passo 3
Cálculo da massa total
passo a passo:
Começamos da definição
Substituindo
:
Como a integranda não depende de
, a integral em
dá fator
:
Agora integramos em
:
Logo
(Isto faz sentido fisicamente: se a densidade fosse constante
teríamos
; como cresce com
o total aumenta por um fator
neste caso.)
Passo 4
Cálculo do numerador
:
Começamos por
Como antes, integral em
dá fator
:
Integramos termo a termo:
Portanto
Passo 5
Cálculo de
e simplificação:
Substituindo
e
:
Cancelam
e
, e sobra:
Agora colocamos
:
Interpretação rápida: o centro de massa está à direita do ponto médio
porque a densidade aumenta com
; o valor
confirma esse deslocamento moderado.