Uma placa retangular de dimensões a =2 \mathrm{~m} e \mathrm{b}=3 \mathrm{~m} possui densidade superficial \sigma(\mathrm{x}, \mathrm{y})=\sigma_{0}(1+\mathrm{x} / \mathrm{a}), onde \sigma_{0}=3 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{2}. Determine a coordenada x do centro de massa, considerando um canto como origem.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos:
  • Pede-se a coordenada x do centro de massa da placa.
  • A placa é retangular com dimensões \;a=2\\ \mathrm{m}\; (no sentido x) e \;b=3\\ \mathrm{m}\; (no sentido y).
  • A densidade superficial é \;\sigma(x,y)=\sigma_0\!\left(1+\dfrac{x}{a}\right)\; com \;\sigma_0=3\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^2.
  • A origem (0,0) está em um canto da placa; portanto o domínio de integração é \;0\le x\le a,\;0\le y\le b\;.
  • Objetivo final: achar \;x do centro de massa (isto é, \;x_{\text{cm}}) medido a partir da origem indicada.

Passo 2

Fórmulas gerais e explicação didática do que vamos calcular:
  • A massa total M de uma placa com densidade superficial \sigma(x,y) é dada por
M=\iint_{R}\sigma(x,y)\,dA.
Aqui dA é o elemento de área; em coordenadas retangulares dA=dx\,dy. O domínio R é o retângulo 0\le x\le a,\;0\le y\le b.
  • A coordenada x do centro de massa é a média ponderada pela densidade:
x_{\text{cm}}=\frac{1}{M}\iint_{R} x\,\sigma(x,y)\,dA.
Explicando: no numerador somamos (integramos) a contribuição x multiplicada pela densidade em cada ponto; no denominador normalizamos dividindo pela massa total.
  • Como \sigma(x,y)=\sigma_0(1+x/a) não depende de y, a integração em y simplesmente multiplica por b. Vamos usar as integrais iteradas com limites x\in[0,a] e y\in[0,b].

Passo 3

Cálculo da massa total M passo a passo:
Começamos da definição
M=\int_{x=0}^{a}\int_{y=0}^{b}\sigma(x,y)\,dy\,dx.
Substituindo \sigma:
M=\int_{0}^{a}\int_{0}^{b}\sigma_0\!\left(1+\frac{x}{a}\right)\,dy\,dx.
Como a integranda não depende de y, a integral em y dá fator b:
M=\sigma_0\int_{0}^{a} b\!\left(1+\frac{x}{a}\right)\,dx =\sigma_0 b\int_{0}^{a}\left(1+\frac{x}{a}\right)\,dx.
Agora integramos em x:
\int_{0}^{a}\left(1+\frac{x}{a}\right)\,dx =\left[x+\frac{x^{2}}{2a}\right]_{0}^{a} =a+\frac{a^{2}}{2a}=a+\frac{a}{2}=\frac{3a}{2}.
Logo
M=\sigma_0 b\cdot\frac{3a}{2}=\frac{3}{2}\,\sigma_0 a b.
(Isto faz sentido fisicamente: se a densidade fosse constante \sigma_0 teríamos M=\sigma_0 a b; como cresce com x o total aumenta por um fator 3/2 neste caso.)

Passo 4

Cálculo do numerador \displaystyle N=\iint_{R} x\,\sigma(x,y)\,dA:
Começamos por
N=\int_{0}^{a}\int_{0}^{b} x\,\sigma_0\!\left(1+\frac{x}{a}\right)\,dy\,dx.
Como antes, integral em y dá fator b:
N=\sigma_0 b\int_{0}^{a} x\!\left(1+\frac{x}{a}\right)\,dx =\sigma_0 b\int_{0}^{a}\left(x+\frac{x^{2}}{a}\right)\,dx.
Integramos termo a termo:
\int_{0}^{a}\left(x+\frac{x^{2}}{a}\right)\,dx =\left[\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3a}\right]_{0}^{a} =\frac{a^{2}}{2}+\frac{a^{3}}{3a} =\frac{a^{2}}{2}+\frac{a^{2}}{3} =\frac{5a^{2}}{6}.
Portanto
N=\sigma_0 b\cdot\frac{5a^{2}}{6}=\frac{5}{6}\,\sigma_0 b a^{2}.

Passo 5

Cálculo de x_{\text{cm}}=N/M e simplificação:
Substituindo N e M:
x_{\text{cm}}=\frac{\displaystyle \frac{5}{6}\,\sigma_0 b a^{2}}{\displaystyle \frac{3}{2}\,\sigma_0 a b}.
Cancelam \sigma_0 e b, e sobra:
x_{\text{cm}}=\frac{5}{6}\cdot\frac{a^{2}}{1}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{a} =\frac{5}{6}\cdot\frac{2}{3}\cdot a =\frac{10}{18}\,a=\frac{5}{9}\,a.
Agora colocamos a=2\\ \mathrm{m}:
x_{\text{cm}}=\frac{5}{9}\cdot 2\\ \mathrm{m}=\frac{10}{9}\\ \mathrm{m}\approx 1,11\\ \mathrm{m}.
Interpretação rápida: o centro de massa está à direita do ponto médio a/2=1{,}0\\ \mathrm{m} porque a densidade aumenta com x; o valor 1{,}11\\ \mathrm{m} confirma esse deslocamento moderado.

Resposta

\displaystyle x_{\text{cm}}=\frac{10}{9}\\ \mathrm{m}\approx 1,11\\ \mathrm{m}

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