Uma barra muito fina de comprimento L possuí uma carga cuja densidade linear é dada por lambda=ax, onde a é uma constante. Assumindo que as extremidades da barra estão nas posições x=0 e x=L, determine o potencial elétrico devido à barra no ponto (x=0; y=L).

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma barra fininha de comprimento V(P)=14pivarepsilon0integral dqr,, ao longo do eixo , de até . A densidade linear de carga varia com a posição: . A gente precisa achar o potencial elétrico gerado por essa barra no ponto .
Conteúdo: potencial de uma distribuição contínua de carga. Vamos usar a fórmula
onde é o elemento de carga e a distância de cada pedacinho de carga até .

Passo 2

Primeiro definimos o elemento de carga dq=lambda(x),dx = a,x,dx . Como r = raiz(x-0)^2 + (0-L)^2 = raizx^2 + L^2 , temos
V = 14pivarepsilon0integralx=0^L dqr = 14pivarepsilon0integral0^L a,x,dxraizx^2 + L^2
Em seguida, descrevemos a distância entre um ponto genérico na barra (que fica em ) e . Pela geometria:
Então o potencial no ponto é

Passo 3

Agora a gente resolve a integral
integral0^L x,dxraizx^2+L^2
Para isso, observe que se a gente fizer a substituição
u = x^2 + L^2 Longrightarrow du = 2x,dx Longrightarrow x,dx = tfrac12,du
Então a integral vira
integral0^L x,dxraizx^2+L^2 = integralu=L^2^u=L^2+L^2 tfrac12,duraizu = 12integralL^2^2L^2 u^-tfrac12du
E .

Passo 4

Aplicando o resultado,
12integralL^2^2L^2 u^-tfrac12du = 12[2u^1/2]L^2^2L^2 = [raizu]L^2^2L^2 = raiz2L^2-raizL^2 = L(raiz2 - 1)
Logo
integral0^L x,dxraizx^2+L^2 = L(raiz2 - 1)

Passo 5

Substituindo de volta em V = 14pivarepsilon0;a;l[L(raiz2 - 1)r] = a,L4pivarepsilon0,(raiz2 - 1) :

Resposta

boxedV(0,L)=a,L4pivarepsilon0,(raiz2 - 1)

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