Uma barra fina, de massa * m e comprimento L, é colocada no eixo x com uma extremidade na origem. Uma barra igual é colocada no eixo y com uma extremidade na origem, de modo que as duas barras formam uma figura em forma de L. Quais são as coordenadas do centro de massa das duas barras?
(a) (L/2, L/2)
(b) (L/4, L/2)
© (L/2, L/4)
(d) (L/4, L/4)
(e) (L/8, L/8)

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o enunciado pede e o que a gente vai usar.
Temos duas barras finas, cada uma de massa e comprimento . Uma está apoiada no eixo indo de a , e a outra no eixo também de a . Elas formam um “L”. Queremos achar as coordenadas do centro de massa das duas juntas.
Conteúdo que vamos usar:
  • Definição de centro de massa para corpos contínuos (integrais ou resultado conhecido).
  • Depois, média ponderada de dois centros de massa (pois as barras têm mesma massa).

Passo 2

Primeiro, encontramos o centro de massa da barra no eixo xrm cm^(x) = 1mintegral0^L x,lambda,dx = 1m,lambdaintegral0^L x,dx = 1m,mL,L^22 = L2 .
Teoria rápida: para uma barra fina de densidade linear constante (xrm cm^(x),,yrm cm^(x)) = l(tfracL2,,0r) , o centro de massa está no ponto médio. Se quisermos mostrar com integral:
E como ela está no eixo , .
Logo, para a barra no eixo :

Passo 3

Agora, a barra no eixo yrm cm^(y) = 1mintegral0^L y,lambda,dy = L2, . É análogo, mas trocando (xrm cm^(y),,yrm cm^(y)) = l(0,,tfracL2r) por . Pelo mesmo raciocínio:
e .
Então

Passo 4

Agora temos duas “partículas” de mesma massa xrm cm = m,(L/2) + mcdot 0m + m = tfracmL22m = L4, , uma em yrm cm = mcdot 0 + m,(L/2)2m = L4 e outra em . O centro de massa do sistema é

Resposta

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