Uma barra muito fina, de modo que a única dimensão relevante é o seu comprimento 1 nm , contém uma carga q uniformemente distribuída ao longo do seu comprimento. Se uma das extremidades da barra está em x=0 e a outra em x=1 nm, calcule o campo elétrico devido à barra na posição $x=2 n m;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma barra bem fininha, com comprimento de 1 nanômetro (nm), que tem uma carga elétrica q distribuída de forma uniforme ao longo desse comprimento. Uma extremidade da barra está em x=0 e a outra em x=1, nm. A tarefa é calcular o campo elétrico gerado por essa barra no ponto x=2, nm.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especificamente como calcular o campo elétrico criado por uma distribuição contínua de carga. Vamos precisar integrar para encontrar o campo elétrico total no ponto desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico ( E) devido a uma carga pontual é dado por:
E = k cdot qr^2
onde:
  • k é a constante eletrostática ( k approx 8,99 times 10^9, N·m²/C²²²),
  • q é a carga,
  • r é a distância entre a carga e o ponto onde queremos calcular o campo.
Como a carga está distribuída ao longo da barra, vamos precisar considerar um elemento infinitesimal de carga ( dq) em uma posição x na barra e integrar ao longo de todo o comprimento da barra para encontrar o campo total em x=2, nm.

Passo 3

Vamos definir a densidade linear de carga ( lambda), que é a carga por unidade de comprimento:
lambda = qL
onde L = 1, nm é o comprimento da barra. Então, um pequeno pedaço da barra com comprimento dx terá uma carga dq = lambda dx.

Passo 4

Agora, para cada elemento dq localizado em uma posição x na barra (entre 0 e 1, nm), a distância até o ponto onde queremos calcular o campo ( x=2, nm) é r = 2, nm - x.
O campo elétrico devido a esse elemento dq é então:
dE = k cdot dqr^2 = k cdot lambda dx(2, nm - x)^2

Passo 5

Para encontrar o campo elétrico total ( E), vamos integrar dE de x=0 a x=1, nm:
E = integral0^1, nm k cdot lambda(2, nm - x)^2 dx
Substituindo lambda = q1, nm, temos:
E = k cdot q1, nm integral0^1, nm 1(2, nm - x)^2 dx

Passo 6

Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja u = 2, nm - x, então du = -dx. Quando x=0, u=2, nm; quando x=1, nm, u=1, nm. A integral fica:
E = k cdot q1, nm integral2, nm^1, nm -1u^2 du = k cdot q1, nm integral1, nm^2, nm 1u^2 du

Passo 7

Integrando 1u^2 em relação a u:
integral 1u^2 du = -1u + C
Aplicando os limites:
E = k cdot q1, nm ( -12, nm + 11, nm ) = k cdot q1, nm ( 11, nm - 12, nm )

Passo 8

Simplificando a expressão:
E = k cdot q1, nm cdot 12, nm = k cdot q2, (nm)^2

Resposta

Então, o campo elétrico no ponto x=2, nm devido à barra carregada é:
E = k cdot q2, (nm)^2

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