Uma barra muito fina, de modo que a única dimensão relevante é o seu comprimento 1 nm , contém uma carga
uniformemente distribuída ao longo do seu comprimento. Se uma das extremidades da barra está em
e a outra em
, calcule o campo elétrico devido à barra na posição $x=2 n m;
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma barra bem fininha, com comprimento de 1 nanômetro (nm), que tem uma carga elétrica
distribuída de forma uniforme ao longo desse comprimento. Uma extremidade da barra está em
e a outra em
. A tarefa é calcular o campo elétrico gerado por essa barra no ponto
.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especificamente como calcular o campo elétrico criado por uma distribuição contínua de carga. Vamos precisar integrar para encontrar o campo elétrico total no ponto desejado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico (
) devido a uma carga pontual é dado por:
onde:
-
é a constante eletrostática ( ), -
é a carga, -
é a distância entre a carga e o ponto onde queremos calcular o campo.
Como a carga está distribuída ao longo da barra, vamos precisar considerar um elemento infinitesimal de carga (
) em uma posição
na barra e integrar ao longo de todo o comprimento da barra para encontrar o campo total em
.
Passo 3
Vamos definir a densidade linear de carga (
), que é a carga por unidade de comprimento:
onde
é o comprimento da barra. Então, um pequeno pedaço da barra com comprimento
terá uma carga
.
Passo 4
Agora, para cada elemento
localizado em uma posição
na barra (entre
e
), a distância até o ponto onde queremos calcular o campo (
) é
.
O campo elétrico devido a esse elemento
é então:
Passo 5
Para encontrar o campo elétrico total (
), vamos integrar
de
a
:
Substituindo
, temos:
Passo 6
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja
, então
. Quando
,
; quando
,
. A integral fica:
Passo 7
Integrando
em relação a
:
Aplicando os limites:
Passo 8
Simplificando a expressão:
Resposta
Então, o campo elétrico no ponto
devido à barra carregada é: