Três partículas com cargas q de módulos e sinais iguais estão localizadas nos vértices de um triângulo equilátero de lado a. Mostre que o campo elétrico resultante no centro do triângulo é nulo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que o campo elétrico resultante no centro de um triângulo equilátero com três cargas iguais é zero. Vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a ideia de campo elétrico gerado por cargas e como eles se somam. Para resolver, vamos precisar entender a fórmula do campo elétrico de uma carga pontual e como vetores de campo se comportam numa configuração simétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o campo elétrico ( E) criado por uma carga pontual ( q). A fórmula é:
E = k cdot qr^2
onde k é a constante eletrostática ( k approx 8,99 times 10^9 , Ncdotm²/C²²²) e r é a distância entre a carga e o ponto onde queremos calcular o campo.

Passo 3

No nosso triângulo equilátero de lado a, cada carga está a uma distância do centro que vamos chamar de r. Em um triângulo equilátero, a distância do centro até qualquer vértice é dada por:
r = araiz3
Então, o campo elétrico criado por uma carga no centro é:
E = k cdot q(araiz3)^2 = 3kqa^2

Passo 4

Agora, como temos três cargas iguais, cada uma gera um campo elétrico de mesma magnitude no centro. Mas precisamos considerar a direção desses campos. Como as cargas estão nos vértices de um triângulo equilátero, os campos estão separados por ângulos de 120 graus entre si.

Passo 5

Vamos somar os vetores dos campos elétricos. Quando somamos três vetores de mesmo tamanho separados por 120 graus, a soma vetorial resulta em zero. Isso acontece porque cada campo tem uma componente que cancela a componente de outro campo.

Passo 6

Matematicamente, se considerarmos os vetores em coordenadas, as componentes horizontais e verticais se anulam mutuamente:
  • A soma das componentes horizontais: E cos(0°) + E cos(120°) + E cos(240°) = E - E2 - E2 = 0
  • A soma das componentes verticais: E sin(0°) + E sin(120°) + E sin(240°) = 0 + raiz3E2 - raiz3E2 = 0

Resposta

Portanto, o campo elétrico resultante no centro do triângulo é nulo.

Exercícios relacionados