Uma barra muito fina, de modo que a única dimensão relevante é o seu comprimento 1 nm , contém uma carga q uniformemente distribuída ao longo do seu comprimento. Se uma das extremidades da barra está em x=0 e a outra em x=1 nm, calcule o campo elétrico devido à barra na posição $x=-1 n m.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: temos uma barra muito fininha de comprimento , com carga total distribuída uniformemente entre e . Queremos achar o campo elétrico em .
Conteúdo: eletrostática de distribuições contínuas (linha de carga). Vamos precisar de:
  • Lei de Coulomb para um pedacinho de carga ,
  • superposição (integral) para somar todos os pedacinhos da barra,
  • noção de densidade linear e como montar a integral.

Passo 2

Primeiro, definimos a densidade linear de carga:
dq = lambda,dx' = qL,dx' .
Agora, cortamos a barra em pedaços infinitesimais de tamanho r = x0 - x' = -L - x' em posição dE = 14pivarepsilon0,dqr^2 (variando de 0 até ), cada um com carga
O ponto de observação é . A distância desse pedacinho até o ponto é
Como tudo está no mesmo eixo , o campo gerado por é
apontando para a esquerda (sentido ), já que uma carga positiva repele.

Passo 3

Substituindo dE = 14pivarepsilon0,qL,dx'l(-L - x'r)^2 e E = -14pivarepsilon0,qLintegralx'=0^Ldx'(L+x')^2 em :
Como todos os estão alinhados e apontando em , podemos integrar só o módulo e depois atribuir o sinal negativo no final:

Passo 4

Calculemos a integral:
integral0^Ldx'(L+x')^2 = [-1L+x']0^L = -12L + 1L = 12L
Logo,
E = -14pivarepsilon0,qL,12L = -18pivarepsilon0,qL^2

Resposta

boxedE(x=-L) = -18pivarepsilon0,qL^2,hat x,
ou em termos de boxedE = -k,q2,L^2,hat x ,
E = -(9times10^9),q2,(10^-9)^2,hat x = -4,5times10^27,qC;N/C;hat x
Para , isso vale numericamente

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