Considere uma linha de cargas em formato de um círculo de raio R , cuja densidade linear de cargas
é constante e positiva. Determine o campo elétrico gerado pela linha de cargas a uma distância
do centro do círculo. Qual é o campo elétrico quando
tende a infinito?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma linha de cargas distribuídas em um círculo de raio $ R $ com densidade linear de carga constante $ \lambda $. Nosso objetivo é encontrar o campo elétrico gerado por essa linha de cargas a uma distância $ z $ do centro do círculo. Também vamos ver o que acontece com esse campo quando $ z $ tende ao infinito. Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, como a Lei de Coulomb e o princípio de superposição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico gerado por uma carga pontual é dado pela Lei de Coulomb:
Onde $ q $ é a carga, $ r $ é a distância até o ponto onde queremos calcular o campo, e $ \hat{r} $ é o vetor unitário na direção de $ r $.
Passo 3
Como temos uma distribuição contínua de carga no formato de um círculo, precisamos integrar os campos elétricos gerados por cada pedacinho de carga ao longo do círculo. Vamos considerar um elemento de comprimento $ dl $ no círculo, cuja carga é $ dq = \lambda , dl $.
Passo 4
Para simplificar, colocamos o centro do círculo na origem e o ponto onde queremos calcular o campo a uma altura $ z $ sobre o eixo $ z $. A distância de cada elemento de carga até esse ponto é $ \sqrt{R^2 + z^2} $.
Passo 5
Devido à simetria do problema, os componentes horizontais dos campos elétricos de elementos opostos do círculo se cancelam, e só resta a componente vertical. Então, o campo elétrico resultante será na direção do eixo $ z $.
Passo 6
A contribuição do campo de cada elemento de carga na direção $ z $ é:
Onde $ \theta $ é o ângulo entre o vetor $ r $ e o eixo $ z $, e $ \cos \theta = \frac{z}{\sqrt{R^2 + z^2}} $.
Passo 7
Substituindo $ dq = \lambda , dl = \lambda R d\phi $ (onde $ \phi $ é o ângulo no círculo) e integrando ao redor de $ \phi $ de $ 0 $ a $ 2\pi $:
Passo 8
Simplificando a expressão:
Passo 9
Agora, vamos analisar o comportamento desse campo quando $ z $ tende ao infinito. Quando $ z \to \infty $, $ R^2 $ se torna insignificante comparado a $ z^2 $, então:
O campo elétrico, portanto, decai como $ \frac{1}{z^2} $ quando $ z $ fica muito grande.
Resposta
O campo elétrico gerado pela linha de cargas a uma distância $ z $ do centro do círculo é:
Quando $ z $ tende a infinito, o campo elétrico tende a: