A barra fina uniforme tem uma massa de 15 kg . Determine as componentes verticais e horizontais da reação no pino
, e a aceleração angular da barra logo após a corda ser cortada.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz: “Temos uma barra fina e uniforme de massa m = 15 kg, engastada num pino em O e presa por uma corda no seu extremo livre. Primeiro a barra está em equilíbrio (horizontal) e a corda sustenta parte do peso. Aí a corda é cortada e a barra começa a girar livremente. Pede-se:
- As componentes horizontal e vertical da reação no pino O enquanto a barra ainda está apoiada pela corda.
- A aceleração angular da barra logo após a corda ser cortada.
Conteúdo: estático de corpos rígidos (equilíbrio – soma de forças e momentos) e dinâmica rotacional (torque e aceleração angular). Vamos usar:
- Equilíbrio de forças em x e y.
- Equilíbrio de momentos em torno de O.
- Momento de inércia de uma barra uniforme em torno de uma das extremidades:
. - Segunda lei de Newton para rotação:
.
Passo 2
Desenhando mentalmente a barra horizontal de comprimento
com pino em O (à esquerda) e corda vertical no extremo direito. O peso
atua no centro (em
de O) para baixo, a corda puxa para cima com tensão
, e o pino reage com
e
.
Equilíbrio em y:
.
Equilíbrio em x:
(não há outras forças horizontais).
Equilíbrio de momentos em O (positivo no sentido que quiser, aqui horário positivo):
Tensão T gera momento horário de módulo .
Peso gera momento anti-horário de módulo .
Como a barra está parada, somatório dos momentos = 0 ⇒
T·L – mg·(L/2) = 0
→ T = .
Tensão T gera momento horário de módulo
Peso gera momento anti-horário de módulo
Como a barra está parada, somatório dos momentos = 0 ⇒
T·L – mg·(L/2) = 0
→ T =
Passo 3
Agora, voltando às forças em y:
N_y + T – mg = 0
→ N_y = mg – T = mg – (mg/2) = mg/2.
N_y + T – mg = 0
→ N_y = mg – T = mg – (mg/2) = mg/2.
E vimos que N_x = 0.
Então, antes de cortar a corda:
T = ,
N_x = 0,
N_y = .
T =
N_x = 0,
N_y =
Passo 4
Logo após cortar a corda, só resta o peso sobre a barra e a reação no pino. Mas para achar a aceleração angular
, consideramos o torque do peso em torno de O:
.
Momento de inércia da barra sobre O:
.
Segunda lei para rotação:
→ .
→
Cancelando
e
:
Resposta
Tensão inicial:
.
Reação no pino antes do corte:
• ,
• .
Reação no pino antes do corte:
•
•
Aceleração angular logo após cortar a corda: