A barra fina uniforme tem uma massa de 15 kg . Determine as componentes verticais e horizontais da reação no pino O, e a aceleração angular da barra logo após a corda ser cortada.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Temos uma barra fina e uniforme de massa m = 15 kg, engastada num pino em O e presa por uma corda no seu extremo livre. Primeiro a barra está em equilíbrio (horizontal) e a corda sustenta parte do peso. Aí a corda é cortada e a barra começa a girar livremente. Pede-se:
  1. As componentes horizontal e vertical da reação no pino O enquanto a barra ainda está apoiada pela corda.
  2. A aceleração angular da barra logo após a corda ser cortada.
Conteúdo: estático de corpos rígidos (equilíbrio – soma de forças e momentos) e dinâmica rotacional (torque e aceleração angular). Vamos usar:
  • Equilíbrio de forças em x e y.
  • Equilíbrio de momentos em torno de O.
  • Momento de inércia de uma barra uniforme em torno de uma das extremidades: .
  • Segunda lei de Newton para rotação: .

Passo 2

Desenhando mentalmente a barra horizontal de comprimento com pino em O (à esquerda) e corda vertical no extremo direito. O peso atua no centro (em de O) para baixo, a corda puxa para cima com tensão , e o pino reage com e .
Equilíbrio em y:
.
Equilíbrio em x:
(não há outras forças horizontais).
Equilíbrio de momentos em O (positivo no sentido que quiser, aqui horário positivo):
Tensão T gera momento horário de módulo .
Peso gera momento anti-horário de módulo .
Como a barra está parada, somatório dos momentos = 0 ⇒
T·L – mg·(L/2) = 0
→ T = .

Passo 3

Agora, voltando às forças em y:
N_y + T – mg = 0
→ N_y = mg – T = mg – (mg/2) = mg/2.
E vimos que N_x = 0.
Então, antes de cortar a corda:
T = ,
N_x = 0,
N_y = .

Passo 4

Logo após cortar a corda, só resta o peso sobre a barra e a reação no pino. Mas para achar a aceleração angular , consideramos o torque do peso em torno de O:
.
Momento de inércia da barra sobre O:
.
Segunda lei para rotação:

.
Cancelando e :

Resposta

Tensão inicial: .
Reação no pino antes do corte:
,
.
Aceleração angular logo após cortar a corda:

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