Uma barra homogênea de peso P1=200 Ne comprimento L=3,0 m é suportada por um cabo que faz um Angulo theta=30^circ com a horizontal, e também por uma dobradiça alixada no ponto A da parede. Um bloco de peso P2=300 N é colocado a uma distância x da parede, conlorme mostrado na figura. O fio suporta uma traçăo máxima de T=400 N.
(1) (40%) Usando a condição de equilibrio para os torques, com a origem na dobradiça, determine a maior distância x para que o cabo nāo arrebente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício de estática que envolve equilíbrio de torques. A situação é a seguinte: uma barra homogênea de peso e comprimento está apoiada por um cabo que faz um ângulo de com a horizontal e por uma dobradiça presa na parede no ponto A. Além disso, tem um bloco de peso colocado a uma distância da parede. A questão pede para encontrar a maior distância para que o cabo não estoure, sabendo que a tração máxima que o cabo pode suportar é .
Para resolver isso, vamos usar a condição de equilíbrio de torques, que diz que a soma dos torques (ou momentos) em torno de um ponto deve ser zero quando o sistema está em equilíbrio. Vamos precisar considerar os torques provocados pelo peso da barra, pelo peso do bloco e pela força no cabo. Vamos calcular passo a passo!

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o conceito de torque. Torque é uma medida de quanto uma força pode fazer um objeto girar em torno de um ponto. A fórmula básica para o torque ( tau = F cdot d cdot sin(phi) ) é:
Onde:
  • é a força aplicada,
  • é a distância perpendicular do ponto de rotação até a linha de ação da força,
  • é o ângulo entre a força e a linha que conecta o ponto de rotação à aplicação da força.
No nosso caso, vamos calcular os torques em torno da dobradiça (ponto A), pois isso simplifica as coisas já que a força na dobradiça não gera torque (ela passa pelo ponto A).

Passo 3

Vamos identificar as forças que causam torques:
  1. Peso da barra ( ): Atua no centro da barra, que está a do ponto A.
  2. Peso do bloco ( ): Atua a uma distância do ponto A.
  3. Tração no cabo ( ): Atua na extremidade da barra, fazendo um ângulo de com a horizontal.

Passo 4

Agora, vamos calcular os torques de cada uma dessas forças em relação ao ponto A.
  1. Torque devido ao peso da barra ( tauP1 = P1 cdot L2 cdot sin(90^circ) = P1 cdot L2 ):
    O peso da barra age para baixo, e o braço de alavanca é tauP2 = P2 cdot x cdot sin(90^circ) = P2 cdot x . Como a força está perpendicular à barra, o seno do ângulo é 90°, então:
    tauT = T cdot L cdot sin(theta)
  2. Torque devido ao peso do bloco ( ):
    O peso do bloco também age para baixo, e o braço de alavanca é . Assim:
  3. Torque devido à tração no cabo ( ):
    A tração no cabo faz um ângulo com a horizontal, então a componente vertical da tração que contribui para o torque é . O braço de alavanca é . Portanto:

Passo 5

Para o sistema estar em equilíbrio, a soma dos torques no sentido horário deve ser igual à soma dos torques no sentido anti-horário. Vamos assumir que torques causados pelo peso da barra e do bloco estão no sentido horário e o torque causado pela tração no cabo está no sentido anti-horário.
Então, a condição de equilíbrio fica:
tauP1 + tauP2 = tauT
Substituindo as expressões que encontramos:
P1 cdot L2 + P2 cdot x = T cdot L cdot sin(theta)

Passo 6

Agora, vamos substituir os valores conhecidos na equação:
200 , N cdot 3,0 , m2 + 300 , N cdot x = 400 , N cdot 3,0 , m cdot sin(30^circ)
Calculando cada termo:
  1. 300 + 300x = 600
Substituindo na equação:

Passo 7

Vamos resolver para 300x = 600 - 300 :
300x = 300
x = 300300
x = 1,0 , m

Resposta

A maior distância para que o cabo não arrebente é de 1,0 metro.

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