Uma barra homogênea de peso
comprimento
é suportada por um cabo que faz um Angulo
com a horizontal, e também por uma dobradiça alixada no ponto A da parede. Um bloco de peso
é colocado a uma distância
da parede, conlorme mostrado na figura. O fio suporta uma traçăo máxima de
.
(1) (40%) Usando a condição de equilibrio para os torques, com a origem na dobradiça, determine a maior distância
para que o cabo nāo arrebente.
(1) (40%) Usando a condição de equilibrio para os torques, com a origem na dobradiça, determine a maior distância
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício de estática que envolve equilíbrio de torques. A situação é a seguinte: uma barra homogênea de peso
e comprimento
está apoiada por um cabo que faz um ângulo de
com a horizontal e por uma dobradiça presa na parede no ponto A. Além disso, tem um bloco de peso
colocado a uma distância
da parede. A questão pede para encontrar a maior distância
para que o cabo não estoure, sabendo que a tração máxima que o cabo pode suportar é
.
Para resolver isso, vamos usar a condição de equilíbrio de torques, que diz que a soma dos torques (ou momentos) em torno de um ponto deve ser zero quando o sistema está em equilíbrio. Vamos precisar considerar os torques provocados pelo peso da barra, pelo peso do bloco e pela força no cabo. Vamos calcular passo a passo!
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o conceito de torque. Torque é uma medida de quanto uma força pode fazer um objeto girar em torno de um ponto. A fórmula básica para o torque (
) é:
Onde:
-
é a força aplicada, -
é a distância perpendicular do ponto de rotação até a linha de ação da força, -
é o ângulo entre a força e a linha que conecta o ponto de rotação à aplicação da força.
No nosso caso, vamos calcular os torques em torno da dobradiça (ponto A), pois isso simplifica as coisas já que a força na dobradiça não gera torque (ela passa pelo ponto A).
Passo 3
Vamos identificar as forças que causam torques:
- Peso da barra (
): Atua no centro da barra, que está a do ponto A. - Peso do bloco (
): Atua a uma distância do ponto A. - Tração no cabo (
): Atua na extremidade da barra, fazendo um ângulo de com a horizontal.
Passo 4
Agora, vamos calcular os torques de cada uma dessas forças em relação ao ponto A.
-
Torque devido ao peso da barra (
): O peso da barra age para baixo, e o braço de alavanca é. Como a força está perpendicular à barra, o seno do ângulo é 90°, então: -
Torque devido ao peso do bloco (
): O peso do bloco também age para baixo, e o braço de alavanca é. Assim: -
Torque devido à tração no cabo (
): A tração no cabo faz um ângulocom a horizontal, então a componente vertical da tração que contribui para o torque é . O braço de alavanca é . Portanto:
Passo 5
Para o sistema estar em equilíbrio, a soma dos torques no sentido horário deve ser igual à soma dos torques no sentido anti-horário. Vamos assumir que torques causados pelo peso da barra e do bloco estão no sentido horário e o torque causado pela tração no cabo está no sentido anti-horário.
Então, a condição de equilíbrio fica:
Substituindo as expressões que encontramos:
Passo 6
Agora, vamos substituir os valores conhecidos na equação:
Calculando cada termo:
Substituindo na equação:
Passo 7
Vamos resolver para
:
Resposta
A maior distância
para que o cabo não arrebente é de 1,0 metro.