1. O centro de massa de um homem de massa igual 70 kg está a uma altura igual a 1,50 \mathrm{~m}. O centro de massa de uma mulher de massa igual 60 kg a uma altura igual a 1,30 \mathrm{~m}. Os dois estão a uma distância igual a 3 m . Defina o eixo y como sendo o eixo de simetria do homem e o eixo x em cima da reta que une os dois. Calcule o centro de massa do sistema.

Passo 1

O enunciado nos dá dois centros de massa (tratados como pontos) e pede o centro de massa do sistema formado pelos dois. Dados fornecidos:
  • massa do homem: m_H = 70\\ \mathrm{kg};
  • altura do centro de massa do homem: y_H = 1{,}50\\ \mathrm{m};
  • massa da mulher: m_W = 60\\ \mathrm{kg};
  • altura do centro de massa da mulher: y_W = 1{,}30\\ \mathrm{m};
  • distância entre os centros de massa (ao longo da reta horizontal): 3{,}0\\ \mathrm{m}.
    Definição dos eixos (conforme solicitado):
  • eixo y é o eixo de simetria do homem (ou seja, o eixo vertical que passa pelo homem);
  • eixo x está sobre a reta que une os dois (ou seja, eixo horizontal no chão passando entre eles).
    Vamos tomar o ponto no chão imediatamente abaixo do centro de massa do homem como origem do sistema de coordenadas. Com isso:
  • coordenadas do homem: (x_H,y_H) = (0,\;1{,}50);
  • coordenadas da mulher: (x_W,y_W) = (3{,}0,\;1{,}30).
    O que se pede: calcular as coordenadas do centro de massa do sistema (x_{cm},y_{cm}) relativas a esse sistema de eixos.

Passo 2

Fórmula do centro de massa para um conjunto discreto de partículas (ou corpos tratados como pontos). Se há massas m_i em posições (x_i,y_i), a posição do centro de massa é dada por:
x_{cm}=\frac{\sum_i m_i x_i}{\sum_i m_i},\qquad y_{cm}=\frac{\sum_i m_i y_i}{\sum_i m_i}.
Explicando: \sum_i m_i x_i é a soma das contribuições “momento” de cada massa na direção x; dividir pelo total de massa dá a coordenada média ponderada. Mesmo raciocínio para y. Aqui temos só duas massas ( i=H,W).

Passo 3

Calcular a massa total do sistema:
M = m_H + m_W = 70 + 60 = 130\\ \mathrm{kg}.
Isso é o denominador que usaremos nas duas fórmulas.

Passo 4

Calcular x_{cm} usando as coordenadas horizontais (pegamos x_H=0 e x_W=3{,}0):
x_{cm}=\frac{m_H x_H + m_W x_W}{M} = \frac{70\cdot 0 + 60\cdot 3{,}0}{130}.
Fazendo as contas no numerador:
70\cdot 0 + 60\cdot 3{,}0 = 0 + 180 = 180.
Portanto
x_{cm}=\frac{180}{130}=\frac{18}{13}\\ \mathrm{m}\approx 1{,}384615\\ \mathrm{m}.
Para facilitar na prova, pode-se também escrever x_{cm}\approx 1{,}385\\ \mathrm{m} (arredondando a 3 casas decimais).

Passo 5

Calcular y_{cm} usando as alturas ( y_H=1{,}50, y_W=1{,}30):
y_{cm}=\frac{m_H y_H + m_W y_W}{M} = \frac{70\cdot 1{,}50 + 60\cdot 1{,}30}{130}.
Calculemos o numerador passo a passo:
70\cdot 1{,}50 = 105{,}0, \qquad 60\cdot 1{,}30 = 78{,}0,
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70\cdot 1{,}50 + 60\cdot 1{,}30 = 105{,}0 + 78{,}0 = 183{,}0.
Portanto
y_{cm}=\frac{183{,}0}{130}=\frac{183}{130}\\ \mathrm{m}\approx 1{,}407692\\ \mathrm{m}.
Arredondando a 3 casas decimais: y_{cm}\approx 1{,}408\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Interpretação rápida: o centro de massa fica deslocado em x na direção da mulher (porque ela está à direita) e a altura y_{cm} fica entre as duas alturas, mais próxima da do homem porque ele é mais pesado. Esses valores são os que se usariam numa resposta de prova e também servem para calcular momentos e equilíbrios se necessário.

Resposta

x_{cm}=\dfrac{18}{13}\\ \mathrm{m}\approx 1{,}385\\ \mathrm{m}
y_{cm}=\dfrac{183}{130}\\ \mathrm{m}\approx 1{,}408\\ \mathrm{m}

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