- O centro de massa de um homem de massa igual 70 kg está a uma altura igual a
. O centro de massa de uma mulher de massa igual 60 kg a uma altura igual a
. Os dois estão a uma distância igual a 3 m . Defina o eixo y como sendo o eixo de simetria do homem e o eixo x em cima da reta que une os dois. Calcule o centro de massa do sistema.
Passo 1
O enunciado nos dá dois centros de massa (tratados como pontos) e pede o centro de massa do sistema formado pelos dois. Dados fornecidos:
- massa do homem:
; - altura do centro de massa do homem:
; - massa da mulher:
; - altura do centro de massa da mulher:
; - distância entre os centros de massa (ao longo da reta horizontal):
.
Definição dos eixos (conforme solicitado): - eixo
é o eixo de simetria do homem (ou seja, o eixo vertical que passa pelo homem); - eixo
está sobre a reta que une os dois (ou seja, eixo horizontal no chão passando entre eles).
Vamos tomar o ponto no chão imediatamente abaixo do centro de massa do homem como origem do sistema de coordenadas. Com isso: - coordenadas do homem:
; - coordenadas da mulher:
.
O que se pede: calcular as coordenadas do centro de massa do sistemarelativas a esse sistema de eixos.
Passo 2
Fórmula do centro de massa para um conjunto discreto de partículas (ou corpos tratados como pontos). Se há massas
em posições
, a posição do centro de massa é dada por:
Explicando:
é a soma das contribuições “momento” de cada massa na direção
; dividir pelo total de massa dá a coordenada média ponderada. Mesmo raciocínio para
. Aqui temos só duas massas (
).
Passo 3
Calcular a massa total do sistema:
Isso é o denominador que usaremos nas duas fórmulas.
Passo 4
Calcular
usando as coordenadas horizontais (pegamos
e
):
Fazendo as contas no numerador:
Portanto
Para facilitar na prova, pode-se também escrever
(arredondando a 3 casas decimais).
Passo 5
Calcular
usando as alturas (
,
):
Calculemos o numerador passo a passo:
logo
Portanto
Arredondando a 3 casas decimais:
.
Passo 6
Interpretação rápida: o centro de massa fica deslocado em
na direção da mulher (porque ela está à direita) e a altura
fica entre as duas alturas, mais próxima da do homem porque ele é mais pesado. Esses valores são os que se usariam numa resposta de prova e também servem para calcular momentos e equilíbrios se necessário.