1. (Moises - Conservação do momento) Um gafanhoto, pousado na beirada superior de uma folha de papel que está boiando sobre a água de um tanque, salta, com velocidade inicial de 4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, em direção à beirada inferior da folha, no sentido do comprimento. As massas do gafanhoto e da folha são de 1 g e 4 g, respectivamente, e o comprimento da folha é de 30 cm . Em que domínio de valores pode estar compreendido o ângulo \theta entre a direção do salto e a sua projeção sobre a horizontal para que o gafanhoto volte a cair sobre a folha? (Resposta: 0^{\circ}<\theta<4,23^{\circ} ou 85,77^{\circ}<\theta<90^{\circ} )

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (valores que serão usados na resolução):
  • Velocidade inicial do salto: v_0 = 4\\ \mathrm{m/s}.
  • Massa do gafanhoto: m_g = 1\\ \mathrm{g} = 0,001\\ \mathrm{kg}.
  • Massa da folha: m_f = 4\\ \mathrm{g} = 0,004\\ \mathrm{kg}.
  • Comprimento da folha (no sentido do salto): L = 30\\ \mathrm{cm} = 0,30\\ \mathrm{m}.
  • A velocidade do salto forma um ângulo \theta com a sua projeção horizontal (isto é, \theta é o ângulo acima da horizontal).
    O que a questão pede:
  • Determinar o domínio de valores de \theta (em graus) para que, após o salto, o gafanhoto volte a cair sobre a folha.

Passo 2

Vamos entender o tempo de voo do gafanhoto (parte vertical da cinemática). Ao saltar com velocidade v_0 formando ângulo \theta com a horizontal, as componentes da velocidade imediata após o salto são:
  • componente horizontal: v_{0x} = v_0\cos\theta,
  • componente vertical: v_{0y} = v_0\sin\theta.
    A queda se dá sob aceleração da gravidade g (tomaremos g = 9,8\\ \mathrm{m/s^2}). Se o gafanhoto parte e volta ao mesmo nível vertical (assumindo que a folha não muda de altura apreciavelmente), o tempo total de voo t é o tempo de subida mais o de descida, ou, pela fórmula conhecida,
t = \frac{2 v_{0y}}{g} = \frac{2 v_0 \sin\theta}{g}.
Explicando por que: a componente vertical da velocidade muda segundo v_y(t)=v_{0y}-g t. Ao atingir novamente v_y=-v_{0y} (simetria do movimento), o tempo total é 2v_{0y}/g. Esse é o tempo que o gafanhoto passa no ar até voltar ao mesmo nível.

Passo 3

Agora a parte horizontal envolvendo a folha: quando o gafanhoto empurra-se para frente, ele comunica um impulso horizontal à folha; pelo princípio da conservação do momento linear horizontal (não há forças horizontais externas significativas durante o impulso), o momento total horizontal do sistema gafanhoto+folha se conserva. Inicialmente ambos estão em repouso, momento total zero, logo após o salto:
m_g v_{g,x} + m_f v_f = 0,
onde v_{g,x} é a velocidade horizontal do gafanhoto relativa à água (que é v_{0x}=v_0\cos\theta) e v_f é a velocidade horizontal da folha relativa à água (sinal oposto). Assim
v_f = -\frac{m_g}{m_f} v_{g,x} = -\frac{m_g}{m_f} v_0\cos\theta.
Defina \alpha = \dfrac{m_g}{m_f}. Com os dados:
\alpha = \frac{0,001}{0,004} = 0,25,
logo
v_f = -0,25\,v_0\cos\theta.
Comentário didático curto: isto significa que, se o gafanhoto sai para a frente, a folha recua para trás com velocidade proporcional à razão de massas (mais leve for o gafanhoto em relação à folha, menor o recuo).

Passo 4

Queremos a condição para que o gafanhoto caia sobre a folha. Meça a posição ao longo do comprimento da folha, com x=0 na beirada superior (onde o gafanhoto parte) e o sentido positivo apontando para a beirada inferior. No referencial da água, após tempo t a posição do gafanhoto é
X_g = X_0 + v_{g,x} t,
e a posição da beirada superior da folha é
X_{\text{folha,top}} = X_0 + v_f t.
A posição do gafanhoto relativa à beirada superior da folha é
\Delta x = X_g - X_{\text{folha,top}} = (v_{g,x}-v_f)\,t.
Substituindo v_f = -\alpha v_{g,x} (com \alpha=m_g/m_f), obtemos
\Delta x = v_{g,x}(1+\alpha)\,t = v_0\cos\theta\,(1+\alpha)\,t.
Para que o gafanhoto caia sobre a folha, essa distância relativa deve ser menor ou igual ao comprimento L da folha:
\Delta x \le L.
Observação: estamos supondo aqui que o salto é dirigido ao longo do comprimento e que a folha permanece aproximadamente alinhada e não gira; essa é a idealização padrão deste problema.

Passo 5

Agora substituímos o tempo de voo t (do Passo 2) na expressão de \Delta x. Temos
\Delta x = v_0\cos\theta\,(1+\alpha)\cdot\frac{2 v_0 \sin\theta}{g} = \frac{2 v_0^2(1+\alpha)}{g}\sin\theta\cos\theta.
Usando a identidade trigonométrica \sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta, simplificamos:
\Delta x = \frac{v_0^2(1+\alpha)}{g}\,\sin 2\theta.
A condição \Delta x \le L torna-se então
\frac{v_0^2(1+\alpha)}{g}\,\sin 2\theta \le L,
ou equivalentemente
\sin 2\theta \le \frac{L g}{v_0^2(1+\alpha)}.

Passo 6

Agora calculamos o lado direito com os valores numéricos. Substituindo v_0 = 4\\ \mathrm{m/s}, g = 9,8\\ \mathrm{m/s^2}, L = 0,30\\ \mathrm{m} e 1+\alpha = 1+0,25 = 1,25:
\frac{L g}{v_0^2(1+\alpha)} = \frac{0,30\cdot 9,8}{16\cdot 1,25} = \frac{2,94}{20} = 0,147.
Portanto a desigualdade é
\sin 2\theta \le 0,147.

Passo 7

Resolvendo \sin 2\theta \le 0,147 para \theta no intervalo físico 0^\circ<\theta<90^\circ (ângulos entre horizontal e vertical):
  • Primeiro, a equação \sin 2\theta = 0,147 tem soluções básicas para 2\theta:
2\theta = \arcsin(0,147)\quad\text{ou}\quad 2\theta = 180^\circ - \arcsin(0,147).
Calculemos numericamente \arcsin(0,147). Em graus:
\arcsin(0,147) \approx 8,45^\circ.
Logo as duas soluções para 2\theta próximas de 0^\circ a 180^\circ são 2\theta \approx 8,45^\circ e 2\theta \approx 171,55^\circ. Dividindo por 2 obtemos os limites para \theta:
\theta \approx 4,23^\circ\quad\text{ou}\quad \theta \approx 85,77^\circ.
  • Como \sin 2\theta é crescente em 0^\circ \le 2\theta \le 90^\circ e depois decrescente até 180^\circ, a condição \sin 2\theta \le 0,147 dentro de 0^\circ<\theta<90^\circ ocorre quando 2\theta está em (0^\circ,8,45^\circ] ou em [171,55^\circ,180^\circ). Dividindo por 2,
    os intervalos para \theta são
0^\circ<\theta\le 4,23^\circ\quad\text{ou}\quad 85,77^\circ\le\theta<90^\circ.
Fisicamente excluímos os extremos \theta=0^\circ e \theta=90^\circ porque em \theta=0^\circ não há subida vertical (o gafanhoto não volta ao mesmo nível) e em \theta=90^\circ não há componente horizontal para alcançar a folha — portanto a forma mais adequada de escrever o domínio pedido é com desigualdades estritas.

Passo 8

Interpretação física rápida e incentivo: o resultado significa que o gafanhoto pode escolher um salto quase horizontal (ângulos pequenos) ou quase vertical (ângulos muito próximos de 90^\circ) e ainda assim cair sobre a folha, porque em saltos quase verticais o tempo de voo é grande mas a componente horizontal é pequena, e em saltos quase horizontais o tempo de voo é pequeno e a componente horizontal também é pequena; no meio há combinações que fazem a relativa distância superar o comprimento da folha. Você já deu um passo importante: conseguir montar as equações de conservação do momento e da cinemática e transformá-las numa desigualdade com \sin 2\theta — excelente!

Resposta

0^{\circ}<\theta<4,23^{\circ}
85,77^{\circ}<\theta<90^{\circ}

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