- (Moises - Conservação do momento) Um gafanhoto, pousado na beirada superior de uma folha de papel que está boiando sobre a água de um tanque, salta, com velocidade inicial de
, em direção à beirada inferior da folha, no sentido do comprimento. As massas do gafanhoto e da folha são de
e
, respectivamente, e o comprimento da folha é de 30 cm . Em que domínio de valores pode estar compreendido o ângulo
entre a direção do salto e a sua projeção sobre a horizontal para que o gafanhoto volte a cair sobre a folha? (Resposta:
ou
)
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (valores que serão usados na resolução):
- Velocidade inicial do salto:
. - Massa do gafanhoto:
. - Massa da folha:
. - Comprimento da folha (no sentido do salto):
. - A velocidade do salto forma um ângulo
com a sua projeção horizontal (isto é, é o ângulo acima da horizontal).
O que a questão pede: - Determinar o domínio de valores de
(em graus) para que, após o salto, o gafanhoto volte a cair sobre a folha.
Passo 2
Vamos entender o tempo de voo do gafanhoto (parte vertical da cinemática). Ao saltar com velocidade
formando ângulo
com a horizontal, as componentes da velocidade imediata após o salto são:
- componente horizontal:
, - componente vertical:
.
A queda se dá sob aceleração da gravidade(tomaremos ). Se o gafanhoto parte e volta ao mesmo nível vertical (assumindo que a folha não muda de altura apreciavelmente), o tempo total de voo é o tempo de subida mais o de descida, ou, pela fórmula conhecida,
Explicando por que: a componente vertical da velocidade muda segundo
. Ao atingir novamente
(simetria do movimento), o tempo total é
. Esse é o tempo que o gafanhoto passa no ar até voltar ao mesmo nível.
Passo 3
Agora a parte horizontal envolvendo a folha: quando o gafanhoto empurra-se para frente, ele comunica um impulso horizontal à folha; pelo princípio da conservação do momento linear horizontal (não há forças horizontais externas significativas durante o impulso), o momento total horizontal do sistema gafanhoto+folha se conserva. Inicialmente ambos estão em repouso, momento total zero, logo após o salto:
onde
é a velocidade horizontal do gafanhoto relativa à água (que é
) e
é a velocidade horizontal da folha relativa à água (sinal oposto). Assim
Defina
. Com os dados:
logo
Comentário didático curto: isto significa que, se o gafanhoto sai para a frente, a folha recua para trás com velocidade proporcional à razão de massas (mais leve for o gafanhoto em relação à folha, menor o recuo).
Passo 4
Queremos a condição para que o gafanhoto caia sobre a folha. Meça a posição ao longo do comprimento da folha, com
na beirada superior (onde o gafanhoto parte) e o sentido positivo apontando para a beirada inferior. No referencial da água, após tempo
a posição do gafanhoto é
e a posição da beirada superior da folha é
A posição do gafanhoto relativa à beirada superior da folha é
Substituindo
(com
), obtemos
Para que o gafanhoto caia sobre a folha, essa distância relativa deve ser menor ou igual ao comprimento
da folha:
Observação: estamos supondo aqui que o salto é dirigido ao longo do comprimento e que a folha permanece aproximadamente alinhada e não gira; essa é a idealização padrão deste problema.
Passo 5
Agora substituímos o tempo de voo
(do Passo 2) na expressão de
. Temos
Usando a identidade trigonométrica
, simplificamos:
A condição
torna-se então
ou equivalentemente
Passo 6
Agora calculamos o lado direito com os valores numéricos. Substituindo
,
,
e
:
Portanto a desigualdade é
Passo 7
Resolvendo
para
no intervalo físico
(ângulos entre horizontal e vertical):
- Primeiro, a equação
tem soluções básicas para :
Calculemos numericamente
. Em graus:
Logo as duas soluções para
próximas de
a
são
e
. Dividindo por
obtemos os limites para
:
- Como
é crescente em e depois decrescente até , a condição dentro de ocorre quando está em ou em . Dividindo por ,
os intervalos parasão
Fisicamente excluímos os extremos
e
porque em
não há subida vertical (o gafanhoto não volta ao mesmo nível) e em
não há componente horizontal para alcançar a folha — portanto a forma mais adequada de escrever o domínio pedido é com desigualdades estritas.
Passo 8
Interpretação física rápida e incentivo: o resultado significa que o gafanhoto pode escolher um salto quase horizontal (ângulos pequenos) ou quase vertical (ângulos muito próximos de
) e ainda assim cair sobre a folha, porque em saltos quase verticais o tempo de voo é grande mas a componente horizontal é pequena, e em saltos quase horizontais o tempo de voo é pequeno e a componente horizontal também é pequena; no meio há combinações que fazem a relativa distância superar o comprimento da folha. Você já deu um passo importante: conseguir montar as equações de conservação do momento e da cinemática e transformá-las numa desigualdade com
— excelente!