Uma barra lateralmente isolada de comprimento 10 cm , área de seção transversal de
, densidade
, condutividade térmica
e calor específico de
(esses dados correspondem à prata, um bom condutor de calor) tem uma temperatura inicial
e é mantida a
nas extremidades
e
. Encontre a temperatura
em instantes posteriores. Aqui,
é igual a:
se
e 0 nos demais casos
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que ele fornece.
- Pedido: encontrar a temperatura
- Condições iniciais: a temperatura inicial
é e e para .]
Passo 2
Qual equação governante usar e como obter a constante de difusão (a “velocidade” com que o calor se espalha).
- Para a temperatura em uma barra unidimensional lateralmente isolada, a equação que descreve a evolução no tempo é
onde explico o significado de cada coisa: -
é a temperatura em graus Celsius no ponto e tempo . -
é a derivada parcial de em relação a (variação temporal). -
é a derivada segunda de em relação a (curvatura espacial). -
é o coeficiente de difusão térmica, dado por Aqui (condutividade) transporta energia por condução; é a capacidade térmica por volume (ou seja, quanta de energia necessária para elevar a temperatura por unidade de volume).
-
- Calculemos
com os números dados: em unidades . Então
Passo 3
Condições e estratégia de resolução (sem resolver ainda).
- Condições:
- Estratégia escolhida: expandir a condição inicial
numa série de senos (série de Fourier em autovetores que satisfazem as condições de contorno nulas) e usar a forma temporal exponencial decrescente de cada modo. Isso é natural porque as funções são soluções espaciais que se anulam nas extremidades e .
Passo 4
Forma geral da solução por separação de variáveis e fórmula para os coeficientes.
- Para
, os autovalores e autovetores com essas condições de contorno são (espaço das formas): e os modos temporais correspondentes têm decaimento exponencial com taxas . - A solução (série) geral é
- Os coeficientes
são obtidos projetando nas funções (ortogonalidade). A fórmula é
Passo 5
Cálculo explícito de
usando a forma de
.
- Como
apenas em e é zero em , a integral se reduz a a : - Simplificando o fator constante:
- Para calcular
com , usamos integração por partes: - Tome
e . Então e . - Logo
- Tome
- Substituindo
e lembrando que , obtemos com . - Substituindo
e , e efetuando as multiplicações: Esta é uma forma compacta e correta para todos .
Passo 6
Interpretação e forma explícita dos coeficientes (valores usando as identidades trigonométricas).
- As expressões
e tomam valores simples dependendo do resto de módulo . Assim, podemos escrever em forma peça por peça: - Exemplos dos primeiros coeficientes:
]
Passo 7
Escrevendo a solução final e comentário sobre comportamento físico.
- Reunindo tudo com
e , a solução é - Comentário físico curto: cada modo senoidal decai exponencialmente com taxa proporcional a
; portanto modos de alta frequência (variações espaciais rápidas) somem bem mais rápido, e quando temos conforme esperado (extremidades mantidas a zero).