Uma barra lateralmente isolada de comprimento 10 cm , área de seção transversal de 1 \mathrm{~cm}^{2}, densidade 10,6 \mathrm{gm} / \mathrm{cm}^{3}, condutividade térmica 1,04 \mathrm{cal} /\left(\mathrm{cm} \mathrm{s}^{\circ} \mathrm{C}\right) e calor específico de 0,056 \mathrm{cal} /\left(\mathrm{gm}{ }^{\circ} \mathrm{C}\right) (esses dados correspondem à prata, um bom condutor de calor) tem uma temperatura inicial f(x) e é mantida a 0^{\circ} \mathrm{C} nas extremidades x=0 e x=10. Encontre a temperatura u(x, t) em instantes posteriores. Aqui, f(x) é igual a:
f(x)=0,2 x se 0<x<5 e 0 nos demais casos

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que ele fornece.
  • Pedido: encontrar a temperatura u(x,t)\) da barra para \(t>0\) e \(0\le x\le 10\), sabendo que as extremidades \(x=0\) e \(x=10\) são mantidas a \(0^\circ\mathrm{C}\) em todos os instantes e a barra é lateralmente isolada. - Dados fornecidos: \[\text{comprimento } L=10\\ \mathrm{cm},
\text{área da seção } A=1\\ \mathrm{cm}^2\\ (\text{não será necessária diretamente}),áçããáá
\text{densidade } \rho=10,6\\ \mathrm{g/cm}^3,
\text{condutividade térmica } \kappa=1,04\\ \mathrm{cal}/(\mathrm{cm}\cdot\mathrm{s}\cdot{}^\circ\mathrm{C}),é
\text{calor específico } c=0,056\\ \mathrm{cal}/(\mathrm{g}\cdot{}^\circ\mathrm{C}).í
  • Condições iniciais: a temperatura inicial f(x) é f(x)= \begin{cases} 0,2\,x, & 0<x<5,\\[4pt] 0, & 5\le x\le 10, \end{cases}e f(0)=f(10)=0\] (consistente com as extremidades mantidas a zero). - Restrições de contorno: \(u(0,t)=0 e u(10,t)=0 para t\ge 0.]

Passo 2

Qual equação governante usar e como obter a constante de difusão (a “velocidade” com que o calor se espalha).
  • Para a temperatura em uma barra unidimensional lateralmente isolada, a equação que descreve a evolução no tempo é u_t = D\,u_{xx},onde explico o significado de cada coisa:
    • u(x,t) é a temperatura em graus Celsius no ponto x e tempo t.
    • u_t é a derivada parcial de u em relação a t (variação temporal).
    • u_{xx} é a derivada segunda de u em relação a x (curvatura espacial).
    • D é o coeficiente de difusão térmica, dado por D=\frac{\kappa}{\rho c}.Aqui \kappa (condutividade) transporta energia por condução; \rho c é a capacidade térmica por volume (ou seja, quanta de energia necessária para elevar a temperatura por unidade de volume).
  • Calculemos D com os números dados: \rho c = 10,6\cdot 0,056 = 0,5936,em unidades \mathrm{cal}/(\mathrm{cm}^3\cdot{}^\circ\mathrm{C}). Então D=\frac{1,04}{0,5936}\approx 1,752\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}.

Passo 3

Condições e estratégia de resolução (sem resolver ainda).
  • Condições: u(0,t)=0,\qquad u(10,t)=0,\qquad u(x,0)=f(x).
  • Estratégia escolhida: expandir a condição inicial f(x) numa série de senos (série de Fourier em autovetores que satisfazem as condições de contorno nulas) e usar a forma temporal exponencial decrescente de cada modo. Isso é natural porque as funções \sin\big(\tfrac{n\pi x}{L}\big) são soluções espaciais que se anulam nas extremidades x=0 e x=L.

Passo 4

Forma geral da solução por separação de variáveis e fórmula para os coeficientes.
  • Para L=10, os autovalores e autovetores com essas condições de contorno são (espaço das formas): X_n(x)=\sin\!\biggl(\frac{n\pi x}{10}\biggr),\qquad n=1,2,3,\dotse os modos temporais correspondentes têm decaimento exponencial com taxas \lambda_n = D\left(\frac{n\pi}{10}\right)^2.
  • A solução (série) geral é u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty} b_n\,\exp\!\Bigl(-D\bigl(\tfrac{n\pi}{10}\bigr)^2 t\Bigr)\,\sin\!\biggl(\frac{n\pi x}{10}\biggr).
  • Os coeficientes b_n são obtidos projetando f(x) nas funções \sin (ortogonalidade). A fórmula é b_n=\frac{2}{10}\int_{0}^{10} f(x)\,\sin\!\biggl(\frac{n\pi x}{10}\biggr)\,dx.

Passo 5

Cálculo explícito de b_n usando a forma de f(x).
  • Como f(x)=0,2x apenas em 0<x<5 e é zero em 5\le x\le 10, a integral se reduz a 0 a 5: b_n=\frac{2}{10}\int_{0}^{5} 0,2x\,\sin\!\biggl(\frac{n\pi x}{10}\biggr)\,dx.
  • Simplificando o fator constante: b_n=0,04\int_{0}^{5} x\,\sin\!\biggl(\frac{n\pi x}{10}\biggr)\,dx.
  • Para calcular I=\int_0^5 x\sin(kx)\,dx com k=\tfrac{n\pi}{10}, usamos integração por partes:
    • Tome u=x e dv=\sin(kx)\,dx. Então du=dx e v=-\dfrac{\cos(kx)}{k}.
    • Logo I=\left.-\frac{x\cos(kx)}{k}\right|_{0}^{5}+\int_{0}^{5}\frac{\cos(kx)}{k}\,dx =-\frac{5\cos(5k)}{k}+\frac{\sin(5k)}{k^2}.
  • Substituindo k=\tfrac{n\pi}{10} e lembrando que 5k=\tfrac{n\pi}{2}, obtemos b_n=0,04\Bigl(-\frac{5\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)}{k}+\frac{\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)}{k^2}\Bigr)com k=\tfrac{n\pi}{10}.
  • Substituindo 1/k=\tfrac{10}{n\pi} e 1/k^2=\tfrac{100}{n^2\pi^2}, e efetuando as multiplicações: b_n= -\frac{2\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)}{n\pi} \;+\; \frac{4\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)}{n^2\pi^2}.Esta é uma forma compacta e correta para todos n\ge 1.

Passo 6

Interpretação e forma explícita dos coeficientes (valores usando as identidades trigonométricas).
  • As expressões \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr) e \cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr) tomam valores simples dependendo do resto de n módulo 4. Assim, podemos escrever b_n em forma peça por peça: b_n= \begin{cases} \dfrac{4}{n^2\pi^2}, & n\equiv 1\pmod{4},\\[6pt] \dfrac{2}{n\pi}, & n\equiv 2\pmod{4},\\[6pt] -\dfrac{4}{n^2\pi^2}, & n\equiv 3\pmod{4},\\[6pt] -\dfrac{2}{n\pi}, & n\equiv 0\pmod{4}. \end{cases}
  • Exemplos dos primeiros coeficientes: b_1=\frac{4}{\pi^2},\quad b_2=\frac{1}{\pi},\quad b_3=-\frac{4}{9\pi^2},\quad b_4=-\frac{1}{2\pi},\\ \dots]

Passo 7

Escrevendo a solução final e comentário sobre comportamento físico.
  • Reunindo tudo com D\approx 1,752\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s} e L=10, a solução é u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty} \Biggl(-\frac{2\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)}{n\pi}+\frac{4\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)}{n^2\pi^2}\Biggr) \exp\!\Bigl(-D\bigl(\tfrac{n\pi}{10}\bigr)^2 t\Bigr)\, \sin\!\biggl(\frac{n\pi x}{10}\biggr).
  • Comentário físico curto: cada modo senoidal decai exponencialmente com taxa proporcional a n^2; portanto modos de alta frequência (variações espaciais rápidas) somem bem mais rápido, e quando t\to\infty temos u(x,t)\to 0 conforme esperado (extremidades mantidas a zero).

Resposta

u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{2\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)}{n\pi}+\frac{4\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)}{n^{2}\pi^{2}}\right) \exp\!\Bigl(-\,1,752\bigl(\tfrac{n\pi}{10}\bigr)^{2}t\Bigr)\, \sin\!\biggl(\frac{n\pi x}{10}\biggr).

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