Uma barra de \mathrm{Al}_{2} \mathrm{O}_{3} com 0,625 \mathrm{~cm} de espessura, 1,25 \mathrm{~cm} de largura e 22,5 cm de comprimento e ensaiada em um dispositivo de flexão com três pontos, com os suportes afastados 15 cm entre si. A deflexão do centro da barra e medida em função da carga aplicada. Determine a resistência a flexão e o modulo de flexão. (R: \mathbf{2 8 3 , 9} \mathrm{GPa} )
Força (\mathbf{N}) Flexão (\mathbf{c m})
64,5 0,00625
128,5 0,0125
193,0 0,01875
257,5 0,025
382,5 0,03725 (fratura)

Passo 1

O enunciado descreve uma barra de \mathrm{Al}_{2}\mathrm{O}_{3} com espessura d=0,625\\ \mathrm{cm}, largura b=1,25\\ \mathrm{cm} e comprimento total 22,5\\ \mathrm{cm}, submetida a flexão de três pontos com vão entre os apoios L=15\\ \mathrm{cm}. Foi medida a deflexão central \delta em função da carga F. Precisamos determinar (1) a resistência à flexão \sigma_f usando a carga de fratura e (2) o módulo de flexão E a partir da rigidez elástica (slope m=F/\delta). Para isso, vamos converter todas as medidas para unidades SI \mathrm{m}, \mathrm{N}, \mathrm{Pa} e usar as fórmulas clássicas de flexão em três pontos.

Passo 2

Para a resistência à flexão usamos a expressão
\sigma_f \;=\;\frac{3\,F_{\rm fratura}\,L}{2\,b\,d^2}
Convertendo para SI: F_{\rm fratura}=382{,}5\\ \mathrm{N}, L=0{,}15\\ \mathrm{m}, b=0{,}0125\\ \mathrm{m}, d=0{,}00625\\ \mathrm{m}.
Substituindo,
\sigma_f = \frac{3\times382{,}5\times0{,}15}{2\times0{,}0125\times(0{,}00625)^2} =1{,}762\times10^8\\ \mathrm{Pa}\approx176{,}2\\ \mathrm{MPa}.

Passo 3

Para o módulo de flexão consideramos a deflexão elástica
\delta = \frac{F\,L^3}{48\,E\,I},
onde o momento de inércia de seção retangular é
I = \frac{b\,d^3}{12}.
Reescrevendo em função da rigidez m=F/\delta, chega-se a
E = \frac{m\,L^3}{48\,I} = \frac{m\,L^3}{4\,b\,d^3}.
Calculando a rigidez média a partir dos quatro primeiros pontos de carga e deflexão (antes da fratura), usando \delta em metro:
m\approx\frac{F}{\delta} \approx1{,}029\times10^6\\ \mathrm{N/m}.
Substituindo em
E = \frac{1{,}029\times10^6 \times(0{,}15)^3}{4\times0{,}0125\times(0{,}00625)^3} \approx2{,}839\times10^{11}\\ \mathrm{Pa} =283{,}9\\ \mathrm{GPa}.

Resposta

Resistência à flexão \sigma_f\approx176{,}2\\ \mathrm{MPa}
Módulo de flexão E\approx283{,}9\\ \mathrm{GPa}

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