Um ensaio de flexão de três pontos e efetuado em um bloco de \mathrm{ZrO}_{2} com 20 cm de comprimento, 1,25 \mathrm{~cm} de largura e 0,625 \mathrm{~cm} de espessura, apoiado sobre dois suportes afastados 10 cm . Ao se aplicar uma força de 1780 N , o espécime apresenta uma flexão de 0,093 \mathrm{~cm} e fratura. Calcule:
a) A Resistencia à flexão;
b) O modulo de flexão, considerando que não há deformação plástica.
(R: a) 546,8 \mathrm{MPa} e b) 156,8 \mathrm{GPa} )

Passo 1

O enunciado descreve um ensaio de flexão três pontos num corpo de prova de \mathrm{ZrO}_{2} com comprimento total irrelevante para o cálculo, largura b=1,25,cm, espessura d=0,625,cm, e vão entre suportes L=10,cm. Sob carga central F=1780,N obtém-se deflexão \delta=0,093,cm no momento da fratura. Precisamos calcular:
a) a resistência à flexão \sigma_f (módulo de ruptura)
b) o módulo de flexão E, supondo comportamento puramente elástico.

Passo 2

Convertemos para SI: \displaystyle L=0,10 m, \,b=0,0125 m, \,d=0,00625 m.
A resistência à flexão no ensaio três pontos é dada por
\sigma_f \;=\;\frac{3\,F\,L}{2\,b\,d^{2}}.
Substituindo:
\sigma_f = \frac{3\times1780\times0,10}{2\times0,0125\times(0,00625)^2} \approx5{,}468\times10^{8}\,\mathrm{Pa} =546{,}8\,\mathrm{MPa}.

Passo 3

Para o módulo de flexão usamos a expressão da deflexão central de uma viga biapoiada com carga única:
\delta = \frac{F\,L^{3}}{48\,E\,I},
onde o momento de inércia é I=\tfrac{b\,d^{3}}{12}.
Isolando E:
E = \frac{F\,L^{3}}{48\,I\,\delta} = \frac{F\,L^{3}}{48\,\bigl(\tfrac{b\,d^{3}}{12}\bigr)\,\delta} = \frac{F\,L^{3}}{4\,b\,d^{3}\,\delta}.
Com \delta=0,00093 m,
E = \frac{1780\times(0,10)^{3}}{4\times0,0125\times(0,00625)^{3}\times0,00093} \approx1{,}568\times10^{11}\,\mathrm{Pa} =156{,}8\,\mathrm{GPa}.

Resposta

a) 546,8\,\mathrm{MPa}
b) 156,8\,\mathrm{GPa}

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